算法 | 动态编程 | 问题7

动态编程是解决一类重复子问题的优秀算法思想。这个问题7也是一种动态编程问题。

问题描述

给你一个长度为n的整数数组costs，其中costs[i]表示第i个房子需要花费的金额。你需要将所有的房子都进行染色，其中相邻的房子不能使用相同的颜色。请你计算出这个染色方案的最小花费。请注意，每个房子都必须被染上颜色。

解题思路

假设dp[i][0]、dp[i][1]、dp[i][2]分别表示第i个房子分别涂上红、绿、蓝颜色，所需要的最小花费。那么动态方程为：

dp[i][0] = min(dp[i-1][1], dp[i-1][2]) + costs[i][0]
dp[i][1] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][2]) + costs[i][1]
dp[i][2] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][1]) + costs[i][2]

其中i表示第i个房子，costs[i][j]表示将第i个房子染成颜色j的花费。最终的答案为：

min(dp[n-1][0], dp[n-1][1], dp[n-1][2])

我们可以使用一个一维数组来表示动态方程中的三个状态。具体实现见下面的代码。

代码实现

def minCost(costs: List[List[int]]) -> int:
    n = len(costs)
    if n == 0: return 0

    dp = costs[0]
    for i in range(1, n):
        dp = [min(dp[(j+1)%3], dp[(j+2)%3]) + costs[i][j] for j in range(3)]

    return min(dp)

总结

这道题目虽然不难理解，但是还是需要进行多次练习和实践，才能更好地掌握动态编程的基本思路。同时，我们还需要考虑如何使用状态压缩等高效的技巧来优化我们的算法，以解决更复杂的问题。