算法 | 动态编程 | 问题7

动态编程是一种算法设计技术，主要用于解决那些可分解为重叠的子问题的问题。问题7是这样一个问题，其目标是找到能找到0-1序列中所有递增序列的最大长度。

思路

通过观察问题，我们可以发现这是一个典型的动态编程问题。我们可以使用一个数组来保存以当前元素为结尾的最长递增序列的长度，然后通过这个数组构建答案。

具体来说，对于数组$nums$和整数$i$，我们定义$dp[i]$表示以$nums[i]$为结尾的最长递增序列的长度。那么，对于每个位置$i$，我们可以递归地计算其前面的位置$j$的结果，状态转移方程为：

$$dp[i]=\max(dp[j])+1,0\leq j<i \text{ and } nums[j]<nums[i]$$

这个方程的意思是，从0到i，寻找所有小于当前位置i处的元素且下标小于i的所有位置j，然后找到最大的$dp[j]$，并将这个数字加1即可得到$dp[i]$。

那么，问题的答案就是$max(dp[i]),0\leq i < n$，其中$n$是$nums$的长度。

代码实现

下面是使用Python实现的示例代码：

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)

    return max(dp)

性能分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中$n$是数组$nums$的长度。每个元素都需要从前面的元素中搜索，平均时间复杂度为$n/2$，因此总的时间复杂度是$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$，需要维护一个长度为$n$的数组$dp$。