泰勒定理和泰勒级数

泰勒定理用于无限级数的展开，如等等，以便我们可以近似这些函数或多项式的值。泰勒定理用于逼近 k 时间可微函数。

陈述：
让 (n-1) ^th导数 IE $f^{(n-1)}$ 连续第 n 个导数存在于和是一个给定的正整数。那么至少存在一个数 $\theta$ 介于 0 和 1 之间，使得：
$f(a+h)= f(a)+h\frac{f'(a)}{1!}+h^2\frac{f''(a)}{2!}+$ …… $+\frac{h^{(n-1)}f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+R_{n}$

在哪里 $R_{n}=\frac{h^n(1-\theta)^{n-p}}{(n-1)!p}f^{n}(a+\theta h)$ 和 $0<\theta<1$
将 x=a+h 或 h=xa 写成等式：
$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\frac{(x-a)^2}{2!} f''(a)+$ …… $+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{n-1}(a)+$
$\frac{(x-a)^n(1-\theta)^{n-p}}{(n-1)!p}f(a+\theta(x-a))$
在 n 项之后泰勒的余数 R _n由于：
1. 柯西：我们只要在泰勒定理中加上 p=1 就可以得到 $R_{n}=\frac{h^n(1-\theta)^{n-1}}{(n-1)!}f^{n}(a+\theta h)$
2. 拉格朗日：p=n 给出 $R_{n}=\frac{h^n}{n!}f^n(a+\theta h)$

泰勒公式：
使用拉格朗日余数，我们得到泰勒公式：
$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+$ …… $+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{n-1}(a)+$
$\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a+\theta(x-a))$ 在哪里 $0<\theta<1$
当 n →∞ 如果 R→0 则公式的最后一项变为
$\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)$
因此泰勒公式进一步简化为
$f(x)=f(a)+\sum\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$
这个公式现在用于给出 f(x) 关于点 a 的无限级数展开。