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📜  构造一个矩阵，使第i行和第i列的并集包含从1到2N-1的每个元素(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 15:40:22.093000             🧑  作者: Mango

构造一个矩阵，使第i行和第i列的并集包含从1到2N-1的每个元素

问题分析

这个问题可以用两种方法解决：

  1. 构造维数为 $N \times N$ 的矩阵；
  2. 构造维数为 $(2N-1) \times (2N-1)$ 的矩阵。

为了方便，我们采用第一种方法。首先，我们需要想到一个性质：1 到 $2N - 1$ 之间的每个奇数都必须出现在矩阵中。因此，我们可以将这 $N$ 个奇数分别填入第 $1$ 行、第 $3$ 行、第 $5$ 行……第 $(2N - 1)$ 行的对角线上（即第 $i$ 行的第 $i$ 列）。接下来，我们要想办法填写剩下的偶数。

我们可以将维数为 $N \times N$ 的矩阵划分为若干个小矩阵，每个小矩阵的维数为 $2 \times 2$，如下所示：

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

我们可以按照某种规则填充这些小矩阵，使得每个小矩阵的两个行和两个列中分别包含一个偶数。这样，每行和每列的并集就一定包含所有的偶数。为了方便，我们可以将 $2 \times 2$ 的小矩阵按照如下方式编号：

$$ \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & N \ N+1 & N+2 & \cdots & 2N-1 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ N^2-N+1 & N^2-N+2 & \cdots & N^2 \end{matrix} $$

我们可以根据编号的奇偶性将每个小矩阵分为四类，如下所示：

  1. 左上角：编号是奇数；
  2. 右上角：编号是偶数且除以 $N$ 的余数为 $0$；
  3. 左下角：编号是偶数且除以 $N$ 的余数为 $1$；
  4. 右下角：编号是偶数且除以 $N$ 的余数既不是 $0$ 也不是 $1$。

我们可以按照如下方式填充每个小矩阵：

  1. 左上角：填充 $(2i-1,2i-1)$ 和 $(2i,2i)$；
  2. 右上角：填充 $(2i-1,2i+N-1)$ 和 $(2i,2i+N)$；
  3. 左下角：填充 $(2i+N-1,2i-1)$ 和 $(2i+N,2i)$；
  4. 右下角：填充 $(2i+N-1,2i+N-1)$ 和 $(2i+N,2i+N)$。
代码实现
def construct_matrix(N):
    matrix = [[0] * N for _ in range(N)]
    for i in range(N):
        matrix[i][i] = 2 * i + 1
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            if ((i * N + j + 1) % 2 == 0):
                if ((i * N + j + 1) % N == 0):
                    matrix[i][j] = 2 * (i + j + 1)
                    matrix[i + 1][j + 1] = 2 * (i + j + 1) - 1
                else:
                    matrix[i][j + 1] = 2 * (i + j + 1) - 1
                    matrix[i + 1][j] = 2 * (i + j + 1)
    return matrix
参考资料