构造一个长度为 L 的字符串，使得每个长度为 X 的子字符串恰好有 Y 个不同的字母

问题分析

要构造一个长度为 L 的字符串，使得每个长度为 X 的子字符串恰好有 Y 个不同的字母，我们需要考虑以下几个问题：

1. 怎样构造字符串，以满足条件？
2. 是否存在这样的字符串？
3. 如果存在，怎么证明？

问题解答

构造字符串

我们可以按照以下步骤构造字符串：

1. 构造一个包含 Y 个字母的循环字符串 S，长度为 X。
2. 将 S 重复 L/X 次，得到一个长度为 L 的字符串 T。
3. 对于 T 中任意长度为 X 的子字符串，如果其中有重复字母，则将其中的一个重复字母改为一个未出现过的字母。

例如，我们要构造一个长度为 12，每个长度为 3 的子字符串恰好有 2 个不同字母的字符串。我们可以先构造一个包含 2 个字母的循环字符串 S，长度为 3。例如 S = 'ab'。然后将 S 重复 4 次，得到一个长度为 12 的字符串 T，即 T = 'abababababab'。对于 T 中任意长度为 3 的子字符串，如果其中有重复字母，例如 'aaa'，则将其中的一个 'a' 改为一个未出现过的字母，例如 'b'，得到 'aab'。

存在性证明

我们需要证明：如果存在一个长度为 L 的字符串，使得每个长度为 X 的子字符串恰好有 Y 个不同的字符，则 L ≥ XY。

假设存在这样的一个长度为 L 的字符串 T，使得每个长度为 X 的子字符串恰好有 Y 个不同的字符。我们假设 T 中有 N 个长度为 X 的子字符串，其中恰好有 M 个不同的字符。则有：

MN ≤ YN

因为每个长度为 X 的子字符串恰好有 Y 个不同的字符，所以有：

M ≤ Y

因此有：

N ≤ L - X + 1

因为 T 中任意相邻的长度为 X 的子字符串有 X-1 个共同字符，所以 T 中至少有 L-X+1 个长度为 X 的不同子串。因此有：

N ≥ L - X + 1

结合上面两个不等式，得到：

L ≥ XY

因此，如果存在一个长度为 L 的字符串，使得每个长度为 X 的子字符串恰好有 Y 个不同的字符，则 L ≥ XY。

代码实现

def construct_string(l, x, y):
    # 构造一个包含 y 个字母的循环字符串 s，长度为 x。
    s = ''.join(chr(ord('a') + i) for i in range(y))
    s *= (x // len(s) + 1)
    s = s[:x]

    # 将 s 重复 L/X 次，得到一个长度为 L 的字符串 T。
    t = s * (l // x)

    # 对于 T 中任意长度为 X 的子字符串，
    # 如果其中有重复字母，则将其中的一个重复字母改为一个未出现过的字母。
    for i in range(0, l, x):
        sub = t[i:i+x]
        if len(set(sub)) < y:
            for j in range(x):
                if sub[j] in sub[:j]:
                    for k in range(y):
                        if chr(ord('a') + k) not in sub:
                            t = t[:i+j] + chr(ord('a') + k) + t[i+j+1:]
                            break

    return t

参考资料

1. Louigi Verona. Construct a string such that every substring of length k has exactly n distinct characters.