在无向非加权图中找到任何简单的周期

对于无向非加权图，我们可以使用深度优先搜索（DFS）来查找任何简单的周期（简单周期指除了首尾节点外不包含任何重复节点的环）。

程序实现

首先，我们需要定义一个DFS函数，其中记录了当前搜索路径上的所有节点以及它们的父节点，一旦找到一个环（除了初始节点之外），就可以返回回到搜索路径上的首个节点，从而得到一个简单的周期。

def dfs_cycle(node, parent, visited, path):
    visited[node] = True
    path.append(node)

    for neighbor in graph[node]:
        # 如果邻居是父节点，则忽略
        if neighbor == parent:
            continue
        # 如果邻居已经被访问，那么它就是环上的一个点
        if visited[neighbor]:
            cycle_start = path.index(neighbor)
            return path[cycle_start:]
        # 递归访问未访问的邻居节点
        cycle = dfs_cycle(neighbor, node, visited, path)
        if cycle:
            return cycle

    path.pop()
    return None

函数参数说明：

• node: 当前要访问的节点
• parent: 当前节点的父节点
• visited: 记录每个节点是否被访问过的字典
• path: 记录当前搜索路径上的所有节点的列表

接下来，我们可以用这个函数尝试在一个无向非加权图中找到任何简单周期：

graph = {1: [2, 3],
         2: [1, 4],
         3: [1, 4, 5],
         4: [2, 3, 6],
         5: [3],
         6: [4]}
         
visited = {node: False for node in graph}
cycle = None

for node in graph:
    if not visited[node]:
        cycle = dfs_cycle(node, None, visited, [])
        if cycle:
            break

if cycle:
    print("找到简单周期：", cycle)
else:
    print("未找到简单周期")

对于上面的图，程序将会输出：

Found cycle: [1, 2, 4, 3]

时间复杂度

这个算法的时间复杂度取决于图的大小、结构（如分支的数量）以及简单周期的大小。在最坏的情况下，程序需要访问每个节点和每条边，因此时间复杂度为$O(|V|+|E|)$，其中$|V|$是节点数，$|E|$是边数。由于我们最多只会找到一个简单周期，所以空间复杂度为$O(|V|)$，其中$|V|$是节点数。