最大化第 K 个索引处的值以创建 N 大小的数组，其相邻差为 1 且总和小于 M

这是一个数组构造的问题，我们需要构造长度为 N 的数组，并且相邻元素之间的差为 1，同时要求数组的总和小于 M。我们需要的目标是最大化第 K 个元素的值。

解题思路

首先我们可以发现，当第一个元素确定后，整个数组的构造方式就唯一确定了。因为第一个元素为 $x_1$，那么第二个元素就必须为 $x_1+1$，第三个元素就必须为 $x_1+2$，以此类推。因此我们只需要考虑如何构造第一个元素即可。

设第一个元素为 $x_1$，则整个数组的和为：

$$ x_1 + (x_1+1) + (x_1+2) + \cdots + (x_1+N-1) = Nx_1 + \frac{N(N-1)}{2} $$

由于数组的总和不能超过 M，我们有：

$$ Nx_1 + \frac{N(N-1)}{2} \le M $$

解得：

$$ x_1 \le \frac{2M}{N} - \frac{N-1}{2} $$

因此我们可以尝试从上式得到一个大于等于 $x_1$ 的整数，作为第一个元素。

如果 $K=1$，那么数组中的最大元素就是第一个元素 $x_1$。如果 $K>1$，那么我们可以将 $x_1$ 左移 $K-1$ 个单位，从而得到第 $K$ 个元素的值。

最后需要注意的是，如果上述得到的第一个元素小于等于 0，则无法构造数组。如果上述得到的第一个元素大于等于 M，则需要将其调整为 M-N+1，从而满足数组的总和不能超过 M 的要求。

代码实现

以下是 Python 实现的代码片段，实现了上述的算法：

def construct_array(N, M, K):
    x1_max = (2 * M // N) - ((N-1) // 2)
    x1 = max(1, x1_max)
    if x1 + N - 1 > M:
        x1 = M - N + 1
    if x1 <= 0:
        return None
    if K == 1:
        return x1
    else:
        return x1 + K - 1

返回值为构造的数组的第 $K$ 个元素的值，如果无法构造数组则返回 None。