使用质数分解生成数字的所有因子

在程序开发中，经常会需要获取数字的所有因子。一种较为高效的方法是使用质数分解的技巧，本文就以此为主题介绍如何生成数字的所有因子。

质数分解

质数分解就是把一个数分解为若干个质数乘积的形式，例如 $12 = 2^2 × 3$。

分解方法可以通过从小到大枚举质数，不断除以小的质数，最终得到所有的质因数，具体流程如下：

1. 定义一个列表 factors 存储质因数
2. 从小到大枚举质数 $p$，当 $p^2 ≤ n$ 时，执行以下操作
   1. 若 $n$ 能整除 $p$，则将 $p$ 添加到 factors 中，并将 $n$ 除以 $p$
   2. 若 $n$ 不能整除 $p$，则继续枚举下一个质数
3. 若 $n$ 大于 $1$，则将 $n$ 添加到 factors 中（$n$ 为质数）

最终得到 factors 中存储的便是数字 $n$ 的所有质因数。

生成所有因子

得到了数字 $n$ 的所有质因数 $factors$ 后，可以通过如下步骤生成数字的所有因子：

1. 定义一个列表 divisors 存储所有因子
2. 定义一个 helper 函数，该函数的输入参数包括当前的除数 d 和质因数的下标 index，输出参数为所有能够整除当前质因数的因子
   1. 若 index 等于 len(factors)，则返回列表 [d]，表示当前的除数已经分解完所有质因数，当前除数即为一个因子
   2. 对于当前的质因数 $p$，从 $0$ 到 $k$ 遍历并递归调用 helper (d × p^i, index + 1)，将返回的因子都添加到 divisors 中。
3. 调用 helper (1, 0)，将所有因子添加到 divisors 中。

最终得到 divisors 中存储的便是数字 $n$ 的所有因子。

示例代码

下面是 Python 代码实现质数分解和生成所有因子的过程：

def prime_factors(n):
    factors = []
    p = 2
    while p * p <= n:
        if n % p == 0:
            factors.append(p)
            n //= p
        else:
            p += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

def get_divisors(n):
    factors = prime_factors(n)

    def helper(d, index):
        if index == len(factors):
            return [d]
        p, k = factors[index], 0
        res = []
        while d * p ** k <= n:
            res += helper(d * p ** k, index + 1)
            k += 1
        return res

    return helper(1, 0)

总结

使用质数分解的方式可以高效的计算出数字的所有因子，可以用于程序开发中需要快速获取因子的场景。