求出[1，n]范围内所有数字的除数

在编写程序时，我们经常要求出一个数字的所有除数。本文将介绍一种方法，可以求出[1，n]范围内所有数字的除数。

算法

我们可以使用两层循环，对于每一个数字i，从1到i进行遍历，找出其所有的除数。

def get_divisors(n):
    res = [[] for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i, n+1, i):
            res[j].append(i)
    return res

原理

这个算法的原理是，我们只需考虑每个数字的因子即可。因为每个数字的因子一定是一个从小到大排列的连续数列，所以只要找出每个数字对应的因子数列即可。

例如，对于数字12，它的因子为1、2、3、4、6和12，可以用以下代码表示：

for i in range(1, 13):
    for j in range(1, i+1):
        if i % j == 0:
            print(j)

然而，这样会有很多重复的计算，比如对于数字12，它的因子2和6都会在两次循环中被计算出来。因此，我们可以用一个列表来存储每个数字的因子，这样可以避免重复计算。

性能

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。虽然它的时间复杂度比常规方法高，但是由于它避免了重复计算，实际上在计算时间上会更快。

示例

下面是求解范围[1, 10]内所有除数的程序示例：

divisors = get_divisors(10)
for i in range(1, 11):
    print('{}: {}'.format(i, divisors[i]))

输出结果为：

1: [1]
2: [1, 2]
3: [1, 3]
4: [1, 2, 4]
5: [1, 5]
6: [1, 2, 3, 6]
7: [1, 7]
8: [1, 2, 4, 8]
9: [1, 3, 9]
10: [1, 2, 5, 10]

结论

我们可以使用该算法求出[1，n]范围内所有数字的除数，避免了重复计算，计算时间更快。