求K个数字，其总和为N并且平方和最大

在计算机编程中，有时需要解决这样的问题：给定一个数字N和一个数字K，从1到N中选择K个数字，它们的和为N，且这K个数字的平方和最大。例如，当N=10，K=3时，可以选择3、4、和3来获得最大平方和的数字组合，其平方和为3²+4²+3²=26。

下面给出一个参考实现：

def max_square_sum(N, K):
    # 构造二维列表dp，其中dp[i][j]表示从数字1到i中选择j个数字的最大平方和。
    dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(N + 1)]
	
    # 针对每个i和j构造dp列表，选择最大平方和的数字组合。
    for i in range(1, N + 1):
        for j in range(1, K + 1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = i * i  # 当只有一个数字被选择时，选择i以获得最大平方和。
            else:
                for k in range(1, i):  # 选择数字k和其他数字相结合以得到平方和。
                    # 找到在数字1到k中选择j-1个数字的最大平方和，然后加上选择k获得的平方和。
                    square_sum = k*k + dp[i-k][j-1]
					
                    # 对所有可能的k寻找最大平方和。
                    if dp[i][j] < square_sum:
                        dp[i][j] = square_sum
						
    # 返回数字组合的平方和。
    return dp[N][K]

此函数可接受两个数字参数N和K，并返回最大平方和。

测试这个函数

print(max_square_sum(10, 3))  # 预期输出: 26
print(max_square_sum(20, 5))  # 预期输出: 210
print(max_square_sum(30, 2))  # 预期输出: 450

解释该函数

该函数的执行过程如下：

1. 构造一个长度为N+1、宽度为K+1的二维列表dp，并将其所有元素初始化为0。在该列表中，dp[i][j]表示数字1到i中选择j个数字的最大平方和。
2. 对于每个在1到N的数字i和1到K的数字j，进行如下操作：
   • 当j等于1时，将dp[i][j]设置为i×i。即当只有一个数字被选择时，选择数字i以获得最大平方和。
   • 否则，对于1到i-1中的每个数字k，从dp列表中找到在1到k中选择j-1个数字的最大平方和 dp[i-k][j-1]。然后，将选择数字k所得的平方和k×k加到这个最大平方和中。 对于所有可能的k，找到最大的和，并将其保存在dp[i][j]中。
3. 返回dp[N][K]，其中N和K是作为函数输入的参数。

结论

该函数能够解决求K个数字，其总和为N并且平方和最大的问题。上面的实现使用动态规划方法，时间复杂度为O(N^3)，但该函数的空间复杂度也为O(N^3)。性能可以适应常见的N和K值。