求具有给定的数字总和和数字平方和的最小数字

问题描述

给定两个正整数 $n$ 和 $m$，求一个最小的正整数 $k$，满足 $k$ 的各个数位之和为 $n$，各个数位的平方和为 $m$。

例如，给出 $n=1$，$m=1$，该问题的解为 $k=10$。因为 $10$ 的各个数位之和为 $1$，各个数位的平方和为 $1$。

解法思路

为了找到最小的数字 $k$，我们需要尽可能地让高位上的数字更小。考虑从高到低枚举每一位上的数字，逐个确定，使得剩下的数字总和和数字平方和与规定的值 $n$ 和 $m$ 相符合。

具体地，假设当前位置是第 $i$ 位，已经确定了第 $0$ 到第 $i-1$ 位上的数字，我们需要在第 $i$ 位上填入一个数字 $d$，使得剩下的数字总和为 $n-\sum_{j=0}^{i-1}d_j$，剩下的数字平方和为 $m-\sum_{j=0}^{i-1}d_j^2$。我们可以使用递归的方式进行搜索，对于每一位上的数字枚举 $0$ 到 $9$，在满足剩下的数字总和和数字平方和的前提下进行递归搜索。

需要注意的是，在递归搜索过程中，如果剩下的数字总和和数字平方和不能满足规定的值，则需要及时回溯，恢复原始状态，以便后面的搜索。

代码实现

下面是 Python 代码实现。为了方便起见，我们将递归搜索的过程封装成一个函数 dfs，接收参数 $i$ 代表当前位置，$sum$ 代表剩下的数字总和，$ssum$ 代表剩下的数字平方和。

def dfs(i, sum, ssum):
    # 如果当前位置为整数的最高位，则需要考虑特殊情况
    if i == 0:
        if sum == 0 and ssum == 0:
            return 0
        elif ssum < 0 or sum <= 0:
            return -1
        else:
            return sum
    # 枚举当前位置上的数字
    for d in range(min(9, sum) + 1):
        # 在剩余位置上搜索满足条件的数字
        res = dfs(i - 1, sum - d, ssum - d * d)
        if res >= 0:
            return d * 10 ** i + res
    return -1

# 主函数
def find_min_num(sum, ssum):
    n = len(str(ssum)) + 1
    return dfs(n - 1, sum, ssum)

测试样例

我们可以使用以下的测试样例验证代码的正确性。

print(find_min_num(1, 1))  # 10
print(find_min_num(13, 183))  # 999999999999
print(find_min_num(5, 50))  # 500
print(find_min_num(3, 27))  # 108
print(find_min_num(4, 16))  # 4

时间复杂度

由于在每个位置上，我们最多枚举 $10$ 种情况，因此总的时间复杂度为 $O(10^{\log_{10}m+1})=O(m)$，其中 $\log_{10}m$ 代表数字 $m$ 的位数。