从1到N的所有除数之和|套装3

本文介绍如何计算从1到N的所有除数之和，以及如何通过多种算法进行优化，使得算法的效率更高。

问题描述

给定一个整数N，计算从1到N的所有除数之和。

算法实现

算法1：暴力枚举

对于每个数i，将N除以i进行取余运算，若余数为0，则i是N的一个除数，将其加入到除数之和中。

def divisor_sum_1(N):
    sum = 0
    for i in range(1, N+1):
        if N % i == 0:
            sum += i
    return sum

时间复杂度为O(N)。

算法2：优化枚举

观察算法1，我们会发现在计算N的除数时，大部分的数都不是N的除数。因此我们可以将枚举的范围限制在N的开方以下，可以有效地减少枚举次数。

def divisor_sum_2(N):
    sum = 1
    limit = int(N ** 0.5)
    for i in range(2, limit+1):
        if N % i == 0:
            sum += i
            if i != N // i:
                sum += N // i
    if limit ** 2 == N:
        sum -= limit
    else:
        sum += N // limit
    return sum

时间复杂度为O(√N)。

算法3：线性筛法

线性筛法是一种基于埃氏筛法的优化算法，它可以在O(N)的时间复杂度内计算从1到N的所有除数之和。具体实现方法如下：

def divisor_sum_3(N):
    primes = []
    factor_sum = [0] * (N+1)
    factor_sum[1] = 1
    for i in range(2, N+1):
        if factor_sum[i] == 0:
            factor_sum[i] = i + 1
            primes.append(i)
        for j in primes:
            if j * i > N:
                break
            if i % j == 0:
                factor_sum[i*j] = factor_sum[i // j] * factor_sum[j]
                break
            else:
                factor_sum[i*j] = factor_sum[i] * factor_sum[j]
    return factor_sum[N]

时间复杂度为O(N)。

总结

在计算从1到N的所有除数之和时，可以通过暴力枚举、优化枚举和线性筛法三种算法进行求解。其中，线性筛法是最优解，可以在O(N)的时间复杂度内计算得到结果。