从1到N的所有适当除数的总和

简介

本文介绍了如何编写一个程序，用于求解从1到给定整数N的所有适当除数的总和。我们将使用Python作为编程语言，并用数学计算来解决这个问题。

问题描述

对于给定的正整数N，本程序将计算从1到N的所有适当除数（即指小于N的被N整除的正整数）的总和。

比如，如果N为10，所有适当除数的总和应为：

$$ 1 + 2 + 5 = 8 $$

解决方法

我们可以使用两个嵌套的循环来遍历所有的适当除数。首先，我们用一个外层循环来遍历所有小于N的正整数，然后用一个内层循环来遍历该数的所有适当除数。

当内层循环中的除数可以整除外层循环计数器所代表的数时，我们就将这个除数累加起来，并将其加入总和当中。

代码实现

下面是一个实现该算法的Python函数：

def proper_divisor_sum(n):
    """
    计算从1到给定整数n的所有适当除数的总和
    """
    divisor_sum = 0  # 用于记录所有适当除数的总和
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, i):
            if i % j == 0:
                divisor_sum += j
    return divisor_sum

以上方法有一个非常明显的缺点，即时间复杂度为$O(N^2)$，对于较大的数可能会非常耗时。

为了改进该算法，我们可以考虑优化内层循环来减少不必要的计算。具体方法是判断一个数m是否能够整除n时，我们只需要判断m是否小于n的平方根即可（因为如果m大于n的平方根而能够整除n，那么必定存在一个小于n的数l，使得l * m = n），这样就可以将时间复杂度降至$O(N\sqrt{N})$。

改进后的代码如下所示：

import math

def proper_divisor_sum(n):
    """
    计算从1到给定整数n的所有适当除数的总和
    """
    divisor_sum = 0  # 用于记录所有适当除数的总和
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, int(math.sqrt(i))+1):
            if i % j == 0:
                if j == 1:
                    divisor_sum += j
                elif j != i//j:
                    divisor_sum += j + i//j
                else:
                    divisor_sum += j
    return divisor_sum

注：上述代码还考虑了约数的重复情况，即如果n可以被一个大于根号n的因子整除，则它也会对结果产生贡献。

总结

本文介绍了如何计算从1到给定整数N的所有适当除数的总和。我们使用了Python作为编程语言，并用嵌套循环实现了该算法。同时，我们也学习了如何对算法进行优化以提高计算效率。

本算法的时间复杂度为$O(N\sqrt{N})$，在实际应用中，可以满足大多数情况下的计算需求。