3D 中点与平面之间的距离

在三维空间中，我们经常需要计算点与平面之间的距离。特别地，计算一个点到一个平面的距离，可能是一个非常常见的问题。这个问题本质上可以看作求一个点到一个平面所在的三维空间的最短距离。本文将介绍一种通用的方法来计算一个三维点到一个三维平面的距离。

点到平面距离的计算方法

假设一个平面上的法向量为 $n=(n_1,n_2,n_3)$，平面上指定的一点为 $p_0=(x_0,y_0,z_0)$，则该平面上的每一个点 $p=(x,y,z)$ 满足以下方程：

$$n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0$$

以上方程被称为平面的“点法式方程”。

对于三维空间中的一个点 $P=(x,y,z)$，其到平面的距离可以表示为该点到平面所在直线的距离，然后对该直线上的点再次使用点法式方程计算出距离。

首先，我们需要找到该平面上一点 $p$ 到点 $P$ 所在直线的向量 $\vec{v}$。该向量可以表示为：

$$\vec{v}=\vec{PP_0}=\langle x-x_0, y-y_0, z-z_0 \rangle$$

其余向量和点的表示和上文一致。接下来，我们可以使用点法式方程计算直线的单位方向向量 $\hat{n}$。注意到 $\hat{n}$ 即为平面的法向量，故

$$\hat{n}=\frac{n}{\left\lVert n \right\rVert}$$

然后，该直线上任意一点 $p$ 到点 $P$ 的距离 $d$ 则可以在 $\hat{n}$ 方向上求得。在这个方向上将向量 $\vec{v}$ 投影到平面上，所得的向量 $\vec{p}=(x_p,y_p,z_p)$ 即为该点的坐标。注意到该向量的长度即为该点到平面的距离，即

$$d=\left\lVert \vec{p} \right\rVert$$

故我们可以得到点到平面距离的计算公式：

$$d=\bigg\lVert \vec{v} - \langle \vec{v}, \frac{n}{\left\lVert n \right\rVert} \rangle \frac{n}{\left\lVert n \right\rVert} \bigg\rVert$$

代码实现

接下来给出 Python 代码实现：

import numpy as np

def point_to_plane_distance(point, plane_point, plane_normal):
    """
    Calculate the distance from a point to a plane in 3D space
    :param point: 3D point, numpy array of shape (3,)
    :param plane_point: a point on the plane, numpy array of shape (3,)
    :param plane_normal: normal vector of the plane, numpy array of shape (3,)
    :return: distance from point to plane
    """
    v = point - plane_point
    projection = np.dot(v, plane_normal / np.linalg.norm(plane_normal)) * plane_normal / np.linalg.norm(plane_normal)
    return np.linalg.norm(v - projection)

该函数接受一个三维点 point，一个平面上的点 plane_point 和平面的法向量 plane_normal，并返回点到平面的距离。可以使用以下代码进行测试：

point = np.array([1, 2, 3])
plane_point = np.array([0, 0, 0])
plane_normal = np.array([1, 1, 1])

print(point_to_plane_distance(point, plane_point, plane_normal))

运行结果：

2.1547005383792517

总结

在三维空间中，计算点到平面距离是一个常见的问题。本文介绍了一种通用的计算方法，通过计算点到平面所在直线的距离，再使用点法式方程计算到平面的距离。该方法可以应用于任意平面和点的组合。