重新排列数组元素以最大化所有前缀数组的MEX之和

背景

在计算机科学中，最小不可分割元素（MEX）是一种操作，用于给定集合中缺少的最小自然数。例如，如果集合为 {0, 1, 3}，则其 MEX 为 2，因为该集合中缺少 2。

给定一个长度为 n 的数组 nums，你需要对其进行重新排列，使得所有前缀数组的 MEX 之和最大。

算法思路

假设当前已经完成了某一个前缀数组，要取的下一个元素是 m。可以将 m 插入到候选数组的 MEX 中，使得 MEX 的值增加 1。

可以通过维护一个大小为 n 的候选数组，和一个大小为 n 的子数组 visited 来实现这个过程。

候选数组表示当前已经遍历到的元素中，哪些元素的下一个 MEX 值为当前正在计算的前缀数组的 MEX 值。visited 数组表示哪些元素已经被选过了。

可以从候选数组中选择下一个元素插入到当前前缀数组中，在插入前需要先确定其 MEX 值，如果 MEX 值为当前正在计算的前缀数组的 MEX 值，则将其插入到前缀数组中，并将其从候选数组中删除。

在选取一个新元素之后，需要更新候选数组和 visited 数组。新元素可以在候选数组中添加，如果当前前缀数组包含了某个值 i，则将 visited[i] 标记为 true。

每当完成一个前缀数组时，都可以计算它的 MEX 值，并将其累加到总和中。

复杂度分析

算法时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

代码实现

def max_mex_sum(nums):
    # 初始化候选数组和 visited 数组
    candidates = set(nums)
    visited = [False] * len(nums)

    # 记录所有前缀数组的 MEX 之和
    sum_mex = 0

    # 循环取出前缀数组
    for i in range(len(nums)):
        # 从候选数组中找出下一个元素
        m = min(candidates)
        # 如果 m 是当前前缀数组的 MEX，则加入数组
        if i == m:
            sum_mex += i
        # 将 m 从候选数组中删除
        candidates.discard(m)
        # 标记 m 已经被选过
        visited[m] = True
        # 更新候选数组
        for j in range(len(nums)):
            if j not in visited and nums[j] < i:
                candidates.add(j)

    return sum_mex

测试

测试数据：

assert max_mex_sum([0, 1, 2, 3, 4, 5]) == 10
assert max_mex_sum([0, 2, 1, 4, 5, 6, 3]) == 30
assert max_mex_sum([0, 1, 3, 4, 2, 5, 6]) == 18