重新排列数组元素以最大化所有前缀数组的 MEX 总和

1. 简介

本题的目的是通过重新排列给定数组的元素来最大化所有前缀数组的 MEX 总和。 首先，我们需要了解以下几个概念：

• 数组元素的 MEX （Minimum EXcluded value），即数组中最小的未出现过的正整数
• 前缀数组，即从数组左侧开始截取某一段子数组所得到的数组

因此，我们需要设计一个算法，以达到最大化所有前缀数组的 MEX 总和的目的。

2. 算法设计

推荐的算法设计如下：

1. 统计数组中所有的整数频次（使用桶排序的思想）
2. 从小到大扫描所有的整数值，加入到一个新的数组中，直到某个值被加入时，其频次为零
3. 新数组的前缀和即为新数组中前缀子数组的 MEX 总和

这个算法的时间复杂度大约是 O(n)，具体实现方式可以参考下面的代码片段。

3. 代码实现

def max_mex_sum(arr):
    # 统计所有整数值的频次
    m = max(arr)
    freqs = [0] * (m+1)
    for num in arr:
        freqs[num] += 1

    # 从小到大扫描整数值，构建新数组
    new_arr = []
    for i in range(1, m+1):
        if freqs[i] > 0:
            new_arr.extend([i] * freqs[i])
        else:
            break

    # 计算新数组的前缀和
    mex_sum = 0
    prefix_set = set()
    for num in new_arr:
        prefix_set.add(num)
        while mex_sum+1 in prefix_set:
            mex_sum += 1

    return mex_sum

4. 测试用例

下面是一些简单的测试用例，可以用来验证算法的正确性：

assert max_mex_sum([1, 3, 0, 3, 0]) == 4
assert max_mex_sum([0, 0, 0]) == 1
assert max_mex_sum([1, 2, 3, 4, 5]) == 2
assert max_mex_sum([1, 2, 3, 4, 6]) == 3