数组最小大小，MEX 为 A，数组元素的 XOR 为 B

当涉及到解决数组问题时，有些特定的问题是需要格外注意的。在这种情况下，建立一个数组的最少元素是必要的，并且一些要素必须满足。其中，数组的最小值是 A，例如最小独立元素，即不能存在数组中的最小非负整数。此外，我们还必须保证该数组的异或和等于 B。这个问题通常被称为“数组最小大小”。

解决方案

解决数组最小大小问题可以使用一些非常简单的方法，如使用暴力搜索、二进制搜索等。但是，在这里，我们将讨论一种更有效的方法，即使用位运算。让我们来看一下这个算法的工作原理。

1. 我们需要从小到大生成一些值并检查它们是否满足下述两个条件：

• 大小为 N 中最小的且不在数组中的非负整数是 A。
• 数组的异或和等于 B。

2. 生成元素时，为了满足这两个条件，我们可以使用位运算中的异或和/或运算。从 N开始，一步步地减少 N 直到检查到满足下述条件的值：

• 数组的异或和大于等于 N。
• N XOR A 不在数组中。

3. 现在我们可以证明，如果我们找到了一个满足上述条件的值，则它就是我们所需的最小大小。为什么呢？因为我们找到了一个值，它满足两个条件：

• 它确保最小独立元素是 A。我们能够保证，因为没有比它更小的元素能被添加到数组中。
• 它确保数组的异或和等于 B。我们也能保证，因为我们按顺序添加了一些元素，这些元素与 A 的 XOR 值不在数组中。

因此，我们可以从 0 开始，以递增的顺序依次检查值是否满足条件，并在满足条件后立即停止。这个算法的时间复杂度为 O($n$logn.)，空间复杂度为 O(1)。

代码

下面是使用 C++ 的位运算来解决问题的代码：

int findMinSize(int A, int B) {
    int N = 1;
    while (B >= N) N <<= 1;
    return (N | A) ^ B;
}

在这段代码中，我们首先将 N 增加到大于等于 B 的最小值。然后，我们通过计算 $\text{N} \text{ OR } \text{A} \text{ XOR } \text{B}$ 来获取满足条件的值。

结论

数组最小大小问题可以使用位运算和一些基本的算法技巧来轻松解决。这个算法的时间复杂度和空间复杂度都为 O(1)，因此它非常适合解决简单的问题。