将数组拆分为具有最大对和至多 K 的最小数量的子集

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 K，你需要将数组拆分成若干个子集，使得每个子集内的数字和最大为 K，并且需要让拆分后的子集数量最小。

解决方案

思路

考虑使用贪心法来解决本问题。具体来说，我们可以首先对数组进行排序，然后从大到小依次选择数字来构造子集。每次选择时，我们优先选择尽可能让当前子集的数字和不超过 K 的数字，如果不存在这样的数字，则只能将当前数字放入新的子集中。

算法

以下是本问题的算法：

1. 对数组 nums 进行排序，排序后的数组为 nums_sorted。

2. 建立一个列表 subsets 来记录拆分后的子集，初始为空列表。

3. 遍历 nums_sorted，对于每个数字 num，分以下两种情况讨论：

   • 子集列表 subsets 为空，将 num 放入 subsets 中。
   • 子集列表 subsets 不为空，从左到右扫描 subsets，找到第一个数字和 num 的和不超过 K 的子集，将 num 放入该子集中。如果所有子集的数字和均超过 K，则将 num 放入新的子集中。

4. 返回子集列表 subsets 的长度。

代码实现

以下是 Python 语言的代码实现：

def split_array(nums, K):
    nums_sorted = sorted(nums, reverse=True)
    subsets = []
    for num in nums_sorted:
        if not subsets:
            subsets.append([num])
        else:
            added = False
            for subset in subsets:
                if sum(subset) + num <= K:
                    subset.append(num)
                    added = True
                    break
            if not added:
                subsets.append([num])
    return len(subsets)

时间复杂度

本算法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 为数组 nums 的长度。排序时间复杂度为 O(nlogn)，遍历时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

本算法的空间复杂度为 O(n)，其中 n 为数组 nums 的长度。需要额外使用一个数组来存储排好序的数组 nums_sorted ，以及一个列表来存储拆分后的子集 subsets。