将数组拆分为具有最大对和至多 K 的最小数量的子集

有一个整数数组和一个整数K，现在需要将数组拆分成尽可能少的子集，使得每个子集的和不超过 K，同时子集中的所有数的和必须是该子集中所有数的最大对和。本文将介绍如何解决这个问题。

方法一：贪心算法

我们可以先将数组排序，然后从大到小依次取数，将取到的数加入当前子集，直到子集中的数的和不超过K。如果此时子集中的数的对和不是最大的，则将该子集中的最小值取出来，新增一个子集，并将该数加入新的子集。重复上述过程直到所有数都被取出来。

代码片段如下：

def max_sum_of_pairs(nums, k):
    nums.sort(reverse=True)
    sub_sets = [[nums[0]]]
    for i in nums[1:]:
        for sub_set in sub_sets:
            if sum(sub_set) + i <= k:
                sub_set.append(i)
                break
        else:
            sub_sets.append([i])
    for sub_set in sub_sets:
        if len(sub_set) <= 1:
            continue
        for i in range(len(sub_set) // 2):
            if sub_set[i] + sub_set[-(i + 1)] != sub_set[0] + sub_set[-1]:
                sub_sets.append([sub_set.pop(i), sub_set.pop(-(i + 1))])
                break
    return sub_sets

方法二：动态规划

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设dp[i][j]表示前i个数中，划分为j个子集时的最小的最大对和。则状态转移方程如下：

dp[i][j] = min(max(dp[k][j - 1], prefix_sum[i] - prefix_sum[k])) (0 <= k < i)

其中，prefix_sum是前缀和数组，用来快速计算区间内的和。

最终答案为dp[n][m]，其中n是数组的长度。

代码片段如下：

def max_sum_of_pairs(nums, k):
    n = len(nums)
    prefix_sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + nums[i - 1]
    dp = [[0] * (len(nums) + 1) for _ in range(k + 1)]
    for i in range(1, k + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = nums[0]
            else:
                dp[i][j] = float('inf')
                for k in range(j - 1):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - 1][k], prefix_sum[j] - prefix_sum[k + 1]))
    ans = []
    i, j = k, n
    while j > 0:
        if dp[i][j] == dp[i][j - 1]:
            j -= 1
        else:
            ans.append(nums[j - 1::-1])
            i -= 1
            j -= 1
    return ans[::-1]

以上就是两种解决方法，它们的时间复杂度均为O(n^2)，其中n是数组的长度。