二进制字符串中0和1的最大差值|设置 2（O(n) 时间）

简介

本题是要求在一个二进制字符串中，找到一个0和1数量的差最大的子串，并返回差值。要求时间复杂度为O(n)。

思路

本题需要用到一些基本的算法，包括前缀和、动态规划、以及数学知识。

首先，我们可以遍历一遍字符串，计算出每个位置前面的0和1的数量，分别保存在两个数组中。具体来说，定义两个数组$zeros$和$ones$，对于位置$i$，$zeros_i$表示前$i$个字符中0的数量，$ones_i$表示前$i$个字符中1的数量。可以用以下公式来计算：

$$zeros_i = zeros_{i-1}+(s_i==0)$$ $$ones_i = ones_{i-1}+(s_i==1)$$

其中$s$表示输入的字符串。

找到一个0和1数量差最大的子串，就可以转化为找到$zeros$数组和$ones$数组中差值最大的两个数，因为这两个数对应的位置就是左右两端点。我们可以对$ones$数组进行预处理，计算出当前位置前$i$个数中的最小值（记为$minval_i$），这个值可以用以下公式计算：

$$minval_i = \min{minval_{i-1},ones_i}$$

然后，从后往前遍历，对于每一个位置$i$，我们可以用$ones_i-minval_{i-1}$来计算左端点为$i-1$的最大差值，取所有值的最大值即可。

代码

def max_diff(s):
    n = len(s)
    # 计算前缀和
    zeros, ones = [0] * n, [0] * n
    zeros[0], ones[0] = int(s[0]=='0'), int(s[0]=='1')
    for i in range(1, n):
        zeros[i] = zeros[i-1] + int(s[i]=='0')
        ones[i] = ones[i-1] + int(s[i]=='1')
    # 计算minval
    minval = ones[:]
    for i in range(1, n):
        minval[i] = min(minval[i-1], ones[i])
    # 从后往前遍历
    res = 0
    for i in range(n-1, 0, -1):
        res = max(res, ones[i]-minval[i-1])
    return res

总结

本题是一道比较典型的字符串练习题，需要熟悉基本的算法和数据结构，并对其进行灵活应用。重点在于想到如何预处理$ones$数组，以及如何把一个子串的信息映射到两个数组中。同时，还需要注意一些细节问题，如数组下标的边界，以及如何初始化数组。