程序员介绍：索引 (i, j) 的最大差值

假设有一个 $n\times m$ 的矩阵 $A$，其中某些元素为零，某些元素为非零值。我们需要找到两个不同的下标 $i,j$，使得 $A_{i,j}=0$，并且它们之间的距离（即它们之间的行数和列数之和）是所有具有相同属性的元素对中最大的。

这个问题可以用于寻找二维平面上两个点之间的最大距离，因为我们可以将每个非零元素看成平面上的一个点，并将它的下标 $(i,j)$ 视为点的坐标。在这种情况下，我们需要找到两个距离最远的零点，它们之间的距离是它们之间的曼哈顿距离（即它们之间的行数和列数之和）。

解决方案

我们可以使用以下步骤来解决这个问题：

1. 创建两个数组 $L$ 和 $R$，每个数组都具有与矩阵 $A$ 相同的大小。

2. 对于每个 $i$ 和 $j$，计算 $L_{i,j}$ 为矩阵中从左往右到达 $A_{i,j}$ 的最长距离，并计算 $R_{i,j}$ 为矩阵中从右往左到达 $A_{i,j}$ 的最长距离。这可以通过动态规划来实现。

3. 对于每个 $i$ 和 $j$，计算 $d_{i,j}=L_{i,j}+R_{i,j}-1$，这是 $A_{i,j}$ 为零的所有距离中的最大值。我们可以在这个步骤中找到最大值 $d$ 和相应的下标 $(i,j)$。

这个过程的时间复杂度为 $O(nm)$，因为我们需要计算每个元素的左右距离。

代码示例

下面是一个 Python 的实现：

def max_distance(A):
    n, m = len(A), len(A[0])
    L = [[0] * m for _ in range(n)]
    R = [[0] * m for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if A[i][j] == 0:
                L[i][j] = L[i][j-1] + 1 if j > 0 else 1
        for j in range(m-1, -1, -1):
            if A[i][j] == 0:
                R[i][j] = R[i][j+1] + 1 if j < m-1 else 1
    d = 0
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if A[i][j] == 0:
                d = max(d, L[i][j] + R[i][j] - 1)
    return d

为了演示这个代码如何工作，请考虑以下矩阵：

1 0 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 1

如果我们运行 max_distance 函数，它应该返回 6，因为最远的两个零元素的距离是 6。

总结

在本文中，我们介绍了如何找到一个矩阵中两个距离最远的零元素。我们使用动态规划来计算每个元素的左右距离，并找到最大值。虽然这个问题并不是很常见，但是它可以用来解决一些有趣的计算几何问题。