将数组分成两个子集，使得两个子集之和的平方和最大

问题描述

给定一个数组，将其分成两个子集，使得两个子集之和的平方和最大。

解决方案

首先，我们可以将原问题转化为一个0/1背包问题。具体地，使用动态规划的思想，设 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选出一些数，使它们的和为 $j$ 时，它们的平方和的最大值。则状态转移方程为：

$$ dp[i][j]= \begin{cases} 0& \text{if } i=0 \text{ or } j=0\ dp[i-1][j]& \text{if } j<a_i\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a_i]+a_i^2)& \text{otherwise} \end{cases} $$

其中，$a_i$ 表示数组中的第 $i$ 个数。在计算完 $dp[n][\sum_{i=1}^n a_i/2]$ 后，可以得到前 $n$ 个数中选出一些数使它们的和等于 $\sum_{i=1}^n a_i/2$ 时的最大平方和。因此，问题转换为了一个背包问题：在前 $n$ 个数中选出一些数使它们的和等于 $\sum_{i=1}^n a_i/2$ 时，它们的平方和的最大值。

最后，我们可以使用状态压缩优化空间。具体地，使用一个一维数组 $dp[j]$ 代替二维数组 $dp[i][j]$，其中 $dp[j]$ 表示在满足约束条件 $\sum_{i=1}^n a_i$ 为偶数的情况下，前 $n$ 个数中选出一些数使它们的和等于 $j$ 时，它们的平方和的最大值。状态转移方程变为：

$$ dp[j]= \begin{cases} 0& \text{if } j=0\ dp[j]& \text{if } j<a_i\ \max(dp[j], dp[j-a_i]+a_i^2)& \text{otherwise} \end{cases} $$

代码实现

def max_square_sum(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    total = sum(arr)
    if total % 2 != 0:
        return 0
    half_sum = total // 2
    dp = [0] * (half_sum + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(half_sum, arr[i - 1] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - arr[i - 1]] + arr[i - 1] ** 2)
    return dp[half_sum]

返回的markdown格式：

将数组分成两个子集，使得两个子集之和的平方和最大

问题描述

给定一个数组，将其分成两个子集，使得两个子集之和的平方和最大。

解决方案

首先，我们可以将原问题转化为一个0/1背包问题。具体地，使用动态规划的思想，设 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选出一些数，使它们的和为 $j$ 时，它们的平方和的最大值。则状态转移方程为：

$$ dp[i][j]= \begin{cases} 0& \text{if } i=0 \text{ or } j=0\ dp[i-1][j]& \text{if } j<a_i\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a_i]+a_i^2)& \text{otherwise} \end{cases} $$

其中，$a_i$ 表示数组中的第 $i$ 个数。在计算完 $dp[n][\sum_{i=1}^n a_i/2]$ 后，可以得到前 $n$ 个数中选出一些数使它们的和等于 $\sum_{i=1}^n a_i/2$ 时的最大平方和。因此，问题转换为了一个背包问题：在前 $n$ 个数中选出一些数使它们的和等于 $\sum_{i=1}^n a_i/2$ 时，它们的平方和的最大值。

最后，我们可以使用状态压缩优化空间。具体地，使用一个一维数组 $dp[j]$ 代替二维数组 $dp[i][j]$，其中 $dp[j]$ 表示在满足约束条件 $\sum_{i=1}^n a_i$ 为偶数的情况下，前 $n$ 个数中选出一些数使它们的和等于 $j$ 时，它们的平方和的最大值。状态转移方程变为：

$$ dp[j]= \begin{cases} 0& \text{if } j=0\ dp[j]& \text{if } j<a_i\ \max(dp[j], dp[j-a_i]+a_i^2)& \text{otherwise} \end{cases} $$

代码实现

def max_square_sum(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    total = sum(arr)
    if total % 2 != 0:
        return 0
    half_sum = total // 2
    dp = [0] * (half_sum + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(half_sum, arr[i - 1] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - arr[i - 1]] + arr[i - 1] ** 2)
    return dp[half_sum]