最大子集差

简介

给定一个长度为m的整数数组，将其分为两个非空子集A和B，使得A中的元素之和与B中的元素之和之差最大。返回这个差值。

示例

输入: [1, 2, 3, 4, 5]
输出: 3
解释: 最优的方案是将数组分为A=[1, 2, 3]和B=[4, 5]，使得A的元素之和为6，B的元素之和为3，两者之差为3。

思路

这道题是典型的背包问题，可以使用动态规划解决。具体思路如下：

1. 计算整个数组的和sum。
2. 创建一个dp数组，其中dp[i][j]表示前i个元素可以分为两个子集，使得A的和减去B的和的最大值是j的情况下，A的元素之和的最大值。
3. 初始时，dp[0][0] = 0，dp[0][1...sum] = float("-inf")。
4. 遍历前i个元素，对于每个元素nums[i - 1]，遍历可能的j，更新dp[i][j]为以下两种情况的较大值：
   • 选取nums[i - 1]，此时A的和减去B的和改变了j，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1]。
   • 不选取nums[i - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j]。
5. 返回dp[m][j]中不小于0且最大的j，即为所求。

代码实现

def max_subset_diff(nums: List[int]) -> int:
    m, n = len(nums), sum(nums)
    dp = [[float("-inf")] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(n + 1):
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j])
            if j >= nums[i - 1]:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1])
    for j in range(n // 2, -1, -1):
        if dp[m][j] >= 0:
            return sum(nums) - 2 * j