将一个集合分成两个非空子集，使得子集和的差异最大

问题描述

给定一个集合，将其分成两个非空的子集使得子集和的差异最大。

解决方法

该问题可以通过动态规划来解决。

状态定义

设 $dp[i][j]$ 为当前考虑前 $i$ 个元素，所选元素之和不超过 $j$ 时可以达到的最大差异。

转移方程

当考虑到元素 $i$ 时，有两种选择：

1. 将其加入第一个子集，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j-a_i] + a_i$ 。
2. 将其加入第二个子集，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j+a_i] - a_i$ 。

因此，状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = \max { dp[i-1][j-a_i] + a_i, dp[i-1][j+a_i] - a_i } $$

边界条件

当 $i=0$ 时，$dp[0][0] = 0$ ；

当 $j<0$ 时，$dp[i][j] = -\infty$ ；

当 $j>0$ 时，$dp[i][j] = -\infty$ 。

答案计算

最终答案即为 $dp[n][0]$ ，其中 $n$ 是集合中元素的个数。

代码实现

def solve(arr):
    s = sum(arr)
    n = len(arr)
    m = s // 2
    dp = [[0] * (2 * m + 1) for i in range(n+1)]
    for j in range(1, 2 * m + 1):
        dp[0][j] = -float('inf')
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(-m, m+1):
            dp[i][j+m] = max(dp[i-1][j-m+arr[i-1]]+arr[i-1], dp[i-1][j+m-arr[i-1]]-arr[i-1])
    return max(0, dp[n][0])

时间复杂度

程序的时间复杂度为 $O(nm)$ 。

总结

将集合分成两个非空子集使得子集和的差异最大是一道经典的动态规划问题，通过合理的状态定义、转移方程和边界条件的设计，可以用动态规划算法有效地解决此问题。