最大子集和（无重复元素）

简介

最大子集和是一个经典的动态规划问题。给定一个集合，要求在不重复选择元素的情况下，找到和最大的子集。即使集合中存在重复元素，也不能选择包含重复元素的子集。

问题描述

给定一个整数集合，找到一个子集，使得子集的元素和最大，并且子集中没有两个元素具有相同的数字。

问题分析

我们可以使用动态规划解决这个问题。定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大子集和。对于第 i 个元素，可以选择将其加入到前面的某个子集中（不包含相同数字），或者以它自己作为新的子集的起点。因此，递推公式为：

dp[i] = max(nums[i], dp[j] + nums[i]), 0 <= j < i, nums[j] < nums[i]

数组中每个元素都需要对应遍历前面的子集，找到符合条件的前一个子集。最终的答案就是 dp 数组中的最大值。

代码实现

def max_subset_sum(nums):
    if not nums:
        return 0
    
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    
    for i in range(1, n):
        dp[i] = nums[i]
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + nums[i])
    
    return max(dp)

# 测试示例
nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
print(max_subset_sum(nums))  # 输出 21

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是集合的长度。需要对每个元素都遍历其前面的子集。
• 空间复杂度：O(n)，需要额外使用一个数组来保存动态规划状态。