使得没有两个元素相邻的最大和|套装2

介绍

在一个数字数组中，选择若干个数，使得它们的和最大，同时不能选相邻的数字。这个问题可以通过动态规划来解决。

解法

状态定义

我们设$dp[i]$为前$i$个数使得没有相邻元素的最大和，则状态转移方程如下：

$$dp[i] = \max{dp[i-1], dp[i-2]+nums[i]}$$

其中，$dp[i-1]$表示前$i-1$个数中使得没有相邻元素的最大和，即不选第$i$个数，$dp[i-2]+nums[i]$表示前$i-2$个数中使得没有相邻元素的最大和加上第$i$个数，即选第$i$个数。

边界

• $dp[0] = 0$，表示前$0$个数中使得没有相邻元素的最大和为$0$。
• $dp[1] = nums[0]$，表示前$1$个数中使得没有相邻元素的最大和为第$1$个数。

代码实现

def maxSum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return nums[0]
    dp = [0] * n
    dp[0], dp[1] = nums[0], max(nums[0], nums[1])
    for i in range(2, n):
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2]+nums[i])
    return dp[-1]

总结

这个问题是动态规划中比较典型的例子之一，通过状态定义、状态转移方程以及边界条件的定义，可以比较容易地求解问题。在实际应用中，可以采用滚动数组或者状态压缩等技巧来优化空间复杂度。