使得总失窃价值小于K的最大利润以获得奖金

简介

本题是一道动态规划题，给定一个数组表示物品的价值，每个物品有一个重量，同时给定一个最大重量K，要求在总失窃价值小于等于K的情况下，选出若干个物品获得最大的利润。该题一般可以采用01背包问题的思路来解决，区别在于01背包问题是选取物品中总价值最大，而该题要求总失窃价值最大。

解法

本题可以采用动态规划的思想，设f(i, j)为考虑前i个物品，总失窃价值不超过j的情况下所能获得的最大利润，则有以下状态转移方程：

f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i-1, j-w[i])+v[i])

其中，w[i]表示当前物品的重量，v[i]表示当前物品的价值。

代码实现

以下为Python代码实现：

def max_profit(K, values, weights):
    n = len(values)
    dp = [[0] * (K+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, K+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j-weights[i-1] >= 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])
    return dp[n][K]

总结

该题可以将动态规划中01背包问题的思路进行拓展，通过选取物品中总失窃价值最大来获得最大利润。本题的状态转移方程与01背包问题类似，通过对所有状态的枚举来求解问题。该题使用动态规划的思想可以在O(nK)的时间复杂度内完成，符合实际应用需求。