最大化 N 个项目的利润总和

本题是一个经典的背包问题，可以用动态规划来求解。

问题描述

有 N 个项目，每个项目有一个重量 wi 和一个不同选择值计数 xi，选择该项目的收益为 wi * xi。需要在限定的总重量 W 内选择若干个项目，使得选择的项目的收益总和最大。

解法

状态定义

用 dp[i][j] 表示前 i 个项目，总重量不超过 j 的最大收益。

状态转移

对于第 i 个项目，有选择或不选择两种情况。

• 不选择第 i 个项目，收益为 dp[i-1][j]；
• 选择第 i 个项目，收益为 dp[i-1][j-w[i]] + w[i] * x[i]。

综合两种情况，状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + w[i] * x[i])

边界条件

当总重量为 0，选择的项目收益总和为 0，即 dp[0][j] = 0。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(NW)，其中 N 为项目个数，W 为总重量。

代码实现

以下为 Python 代码实现：

def maximize_profit(N, W, weights, values):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (W+1) for _ in range(N+1)]
    # 状态转移
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, W+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j >= weights[i-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + weights[i-1] * values[i-1])
    # 返回最大收益
    return dp[N][W]

该函数接受四个参数：

• N：项目个数；
• W：总重量；
• weights：每个项目的重量；
• values：每个项目的不同选择值计数。

以下为使用示例：

N = 3
W = 50
weights = [10, 20, 30]
values = [60, 100, 120]

max_profit = maximize_profit(N, W, weights, values)
print(max_profit)  # 输出：240

总结

背包问题是经典的动态规划问题，在实际问题中也经常出现。通过本题的学习，可以更深刻地理解动态规划的思想，同时掌握一个实用的算法。