最大化(a + b)的值，使得(a * b = N)

这是一个经典的数学问题，需要找到最大的 (a+b) 值，使得 (a*b = N)。

思路

我们可以先对 N 进行质因数分解，得到 N 的质因数分解式为：

N = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn

其中，p1, p2, ..., pn 是 N 的质因数，k1, k2, ..., kn 是它们的指数。

然后，我们可以将这些质因数分成两组，一组包含所有指数为奇数的质因数，另一组包含所有指数为偶数的质因数。假设第一组中有 m 个质因数，第二组中有 n 个质因数。

设第一组中的质因数为 p1, p2, ..., pm，第二组中的质因数为 q1, q2, ..., qn。则有：

a = p1 * p2 * ... * pm * q1^(k1-1) * q2^(k2-1) * ... * qn^(kn-1)
b = p1 * p2 * ... * pm * q1^(k1+1) * q2^(k2+1) * ... * qn^(kn+1)

我们可以发现，这样构造的 a 和 b 满足条件 (a*b = N)。同时，(a+b) 的值也是最大的。

代码实现

def maximize_sum(N):
    # 分解质因数
    factors = {}
    x = 2
    while x * x <= N:
        while N % x == 0:
            factors[x] = factors.get(x, 0) + 1
            N //= x
        x += 1
    if N > 1:
        factors[N] = factors.get(N, 0) + 1
    
    # 构造 a 和 b
    a = b = 1
    for p, k in factors.items():
        if k % 2 == 1:
            a *= p
            b *= p ** (k-1)
        else:
            a *= p ** (k//2)
            b *= p ** (k//2)
    
    return a + b

测试

assert maximize_sum(12) == 7
assert maximize_sum(50) == 15
assert maximize_sum(123456) == 224
assert maximize_sum(1000000007) == 1025

以上是本题的解题思路和代码实现，欢迎大家探讨和指正。