最小化系列中的a值

给定一个长度为n的数列a, ab^1, ab^2, ab^3, ..., ab^n，其中a和b都是整数，且b大于等于2。现在要选择一个最小的非负整数a，使得选出来的数列中初始非零项的总和至少为S。

算法思路

首先我们来看到这题目，可以发现在ab^{1},ab^{2},...,ab^{n}中b越大，数值越大，因此我们可以首先对给定的数列按照b从小到大排序，然后对于每一项ab^{k}(0 <= k <= n)，我们按照如下方式处理。

1. 如果k = 0 （即处理a），那么a取值为S加上之前的数列元素和中最小的非零数值。

2. 如果k > 0 （即处理b^{k}），那么我们将a乘以b，然后加上当前的数列元素，即得到新的a值。

最后返回最小的a值即可。

算法实现

下面给出该算法的实现，采用Python语言编写。

def minimize_a(n, S, a_list):
    a_list.sort(key=lambda x: int(x[1]))  # 按照 b 从小到大排序
    ans = S
    for i in range(n):
        ans = min(ans, a_list[i][0] // a_list[i][1] * ans + a_list[i][0] % a_list[i][1])
    return ans

算法分析

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，主要时间花费在排序操作上；空间复杂度为O(n)，主要是存储了输入的数列，以及排序过程中用到的额外空间。

总结

本题目的难点不在于算法的复杂性，而在于思维的灵活性。将给定的数列按照b从小到大排序，这个方法是比较巧妙的。另外，在处理a和b时，要灵活地结合已有的答案进行计算，不能一开始就想太多。最后，该算法的时间复杂度为O(nlogn)，在实际应用中也是比较优秀的。