最大化子序列的最大公约数

给定长度为n的数组a和正整数k，要求选出长度为k的子序列X使得X的最大公约数尽可能大，求最大的最大公约数和。

解决思路

首先，我们需要了解最大公约数的性质。最大公约数是一组数的公共因子中最大的一个。

假设a数组中最大的数为max，那么最大的最大公约数一定不会超过max。如果我们枚举最大公约数mid，那么我们可以将a中所有能被mid整除的数选中，取k个中gcd最大的那个。

因此，我们可以使用二分查找，从大到小枚举mid，每次检查是否存在长度为k的子序列的gcd大于等于mid。

算法实现

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def check(a, k, mid):
    cnt = 0
    for i in range(len(a)):
        if a[i] % mid == 0:
            cnt += 1
            if cnt == k:
                return True
    return False

def max_gcd_sum(a, k):
    l, r = 1, max(a)
    ans = 0
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if check(a, k, mid):
            ans = max(ans, mid)
            l = mid + 1
        else:
            r = mid - 1
    return ans * k

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlog(max(a)))，其中n为数组a的长度，max(a)为a数组中的最大值。需要枚举max(a)次，每次检查长度为k的子序列的gcd大于等于mid需要O(n)的时间复杂度。因此总时间复杂度为O(nlog(max(a)))。
• 空间复杂度：O(1)。