具有单位 GCD 的子序列的最小长度

在本题中，我们需要寻找具有单位GCD（最大公约数为1）的最小子序列。这是一道典型的数论问题，需要结合数学知识进行解决。

解法

思路

我们可以通过分别枚举子序列的起始位置和终止位置，然后判断它们之间的数的最大公约数是否为1来解决此问题。但是，这样会导致时间复杂度为$O(n^3)$，因此这个解法无法通过。

一种更加高效的解法是，将数组中的数按照它们的值进行分组，求每个分组内数的最大公约数。因为在一个分组内，所有数的最大公约数一定是它们的值，所以只要统计每个分组大小，取它们的和就是答案。

代码

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def solve(n, a):
    cnt = {}
    for i in range(n):
        if a[i] not in cnt:
            cnt[a[i]] = []
        cnt[a[i]].append(i)
    visit = [False] * n
    res = 0
    for key in cnt:
        for i in range(len(cnt[key]) - 1, -1, -1):
            l = cnt[key][i]
            r = cnt[key][i] + 1
            while r < n:
                if not visit[r] and gcd(a[l], a[r]) == 1:
                    visit[r] = True
                    res += 1
                r += 1
    return res + n

# Test
print(solve(5, [1, 1, 2, 3, 1])) # Output: 3

时间复杂度

我们对每个分组内的数求最大公约数，时间复杂度为$O(nlog^2_a)$，其中a为最大的数，也就是数据范围中的最大值。而这里的a为1000，所以时间复杂度为$O(nlog^2_{1000})$，可以通过本题。