寻找在 GCD 超过 K 的最小 GCD 整数对

本题需要我们寻找给定的整数对中GCD超过K的，具有最小GCD的整数对。我们可以通过枚举求GCD的方式解决这个问题，但是这样的时间复杂度会很高，因此我们需要寻找更高效的算法。

解法

我们可以使用二分查找来确定最小的GCD。如果一个整数对的GCD大于mid，则我们可以在mid+1所有GCD都大于mid的整数对中继续查找，否则我们可以在mid以下的整数对中查找。

具体来说，我们假设所有给定的整数对分别为a1,b1,a2,b2,…,an,bn，我们需要通过二分查找来确定GCD的上下界。我们可以将GCD的上下界初始化为1和max(ai,bi)，然后对于GCD的大致范围进行二分。对于每个mid，我们可以使用欧几里得算法（即辗转相减法）来检查在GCD大于mid的整数对中是否存在最小的GCD。

最后我们就可以找到GCD超过K的所有给定对中，具有最小GCD的整数对了。

代码实现

# 寻找在 GCD 超过 K 的最小 GCD 整数对
def find_min_gcd_pair(arr, k):
    # 确定GCD的上下边界
    low, high = 1, max(arr)
    min_gcd = high + 1
   
    while low <= high:
        mid = low + (high - low) // 2
        gcd_exist = False
        
        # 判断在GCD大于mid的整数对中是否存在最小的GCD
        for i in range(len(arr)):
            if arr[i] >= mid and arr[i] % mid == 0:
                gcd_exist = False
                break
              
            if arr[i] < mid and mid % arr[i] == 0:
                gcd_exist = False
                break
              
            gcd_exist = True
        
        # 更新最小的GCD
        if gcd_exist:
            min_gcd = mid
            high = mid - 1
        else:
            low = mid + 1
  
    return min_gcd

时间复杂度

在最坏情况下，二分查找的时间复杂度为O(log(Max(A，B)))，其中A和B分别为数组a和b中的最大值。每次查找时，我们需要使用欧几里得算法计算GCD，该算法的时间复杂度为O(logN)，其中N为a和b中的最大值。因此，总时间复杂度为O(N*log(Max(A，B)))。

总结

本题需要我们寻找在GCD超过K的所有给定对中，具有最小GCD的整数对。通过使用二分查找方法，我们可以在时间复杂度为O(N*log(Max(A，B)))的情况下解决这个问题。