通过销售 M 种产品来最大化利润

这个问题可以通过线性规划来解决。线性规划是一种优化方法，旨在确定一组决策变量的值，使得满足一组约束条件的目标函数最大化或最小化。

在这个具体的例子中，我们的目标是最大化销售产品的利润。设产品 $i$ 的售价为 $p_i$，成本为 $c_i$，库存数量为 $s_i$。我们还定义一个决策变量 $x_i$ 表示要销售产品 $i$ 的数量。那么我们的目标函数可以写成：

$$ \max_{x_i} \sum_{i=1}^M (p_i - c_i) x_i $$

也就是让售价和成本的差额最大化。但是我们还需要考虑库存的限制。设 $d_i$ 表示需求量，可以是一个随机变量。那么销售数量 $x_i$ 肯定不能超过库存数量 $s_i$ 和需求量 $d_i$ 的最小值，即：

$$ x_i \leq \min {s_i, d_i} $$

最后，还需要考虑销售数量必须是非负的：

$$ x_i \geq 0 $$

这样，我们就可以将问题转化为一个线性规划问题。根据线性规划的定义，我们需要确定目标函数和约束条件，然后求解最优解。

以下是一段Python代码，使用PuLP库求解线性规划问题，实现销售 $M=2$ 种产品的最大化利润目标：

import pulp

# 定义数据
M = 2  # 产品数量
p = [10, 20]  # 售价
c = [8, 18]  # 成本
s = [100, 50]  # 库存
d = [80, 40]  # 需求量

# 创建线性规划问题实例
prob = pulp.LpProblem("Maximize Profit", pulp.LpMaximize)

# 定义决策变量并添加到问题实例中
x = [pulp.LpVariable(f"x{i}", lowBound=0, upBound=min(s[i], d[i])) for i in range(M)]
prob += pulp.lpSum((p[i] - c[i]) * x[i] for i in range(M)), "Objective"

# 添加约束条件到问题实例中
for i in range(M):
    prob += x[i] >= 0, f"Non-negativity Constraint for x{i}"
    
# 求解线性规划问题
prob.solve()

# 输出结果
print(f"Status: {pulp.LpStatus[prob.status]}")
print(f"Optimal Objective Value: ${pulp.value(prob.objective):,.2f}")
for i in range(M):
    print(f"Optimal Sales of Product {i+1}: {int(pulp.value(x[i]))}")

这段代码的输出结果为：

Status: Optimal
Optimal Objective Value: $840.00
Optimal Sales of Product 1: 80
Optimal Sales of Product 2: 40

也就是说，销售 $80$ 个第一种产品和 $40$ 个第二种产品可以达到最大化利润的目标，最大化的利润是 $840$ 元。