最大总和，使得恰好选择了一半的元素，并且没有两个相邻的元素

在一个给定的数组中，选取恰好一半的元素，使得选取的元素之间没有两个相邻的元素，并且使得选取的元素总和最大。这是一个经典的动态规划问题。如果我们用f[i]表示选取前i个元素的最大总和，我们需要考虑两种情况：

1. 第i个元素不选。此时f[i] = f[i-1]。
2. 第i个元素选。如果选第i个元素，那么第i-1个元素就不能选了，因此f[i] = f[i-2] + arr[i]。

综上所述，我们可以得到递推式：

f[i] = max(f[i-1], f[i-2] + arr[i])

初始状态为：f[0] = 0, f[1] = arr[1]。

下面是Python代码实现：

def max_sum(arr):
    n = len(arr)
    if n % 2 == 0:
        k = n // 2
    else:
        k = n // 2 + 1
    dp = [0] * (n+1)
    dp[1] = arr[0]
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + arr[i-1])
    return dp[k]

其中，数组arr表示原始数组，变量k表示选取的元素个数，数组dp表示选取前i个元素的最大总和。

注意，在实现时需要特别处理选取元素个数为奇数的情况，这时候需要选取(n // 2 + 1)个元素。所以，最终返回的是dp[k]。

参考资料：

• LeetCode 740. Delete and Earn