数组中的最大和，使得每个元素都恰好有一个与之相邻的元素

问题描述

给定一个数组，找到一个子数组使得其中的元素之和最大，且要求选取的元素恰好有一个与其相邻位置的元素。

问题分析

这是一道动态规划问题。我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示选取以 $i$ 结尾的子数组所能得到的最大和。

对于 $dp[i]$，我们有以下两种情况：

• 选取 $i$ 位置的元素，那么 $i-1$ 位置的元素就不能选取，所以此时的最大和为 $dp[i-2]+nums[i]$。
• 不选取 $i$ 位置的元素，那么最大和就是 $dp[i-1]$。

因此我们可以得到状态转移方程：$dp[i] = \max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])$。

最后答案就是 $dp[n-1]$，其中 $n$ 是数组的长度。

代码实现

def max_sum_with_adjacent(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return nums[0]

    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    dp[1] = max(nums[0], nums[1])
    for i in range(2, n):
        dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])

    return dp[n-1]

总结

动态规划是解决很多问题的常用方式，它能将问题分解成子问题，并找到它们之间的递推关系。本文讨论了一道典型的动态规划问题，希望可以对读者理解和掌握动态规划提供一些帮助。