将集合划分为两个非空子集，以使子集和的差最大

假设有一个非空集合 $S$，将 $S$ 划分为两个非空子集 $A$ 和 $B$，使得它们的子集和的差最大化。这个问题可以通过动态规划来解决。

动态规划

假设 $S$ 中元素的总和为 $sum$，$S$ 中共有 $n$ 个元素。定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个元素中选择若干个元素，它们的和是否能够恰好为 $j$。如果能够恰好为 $j$，则 $dp[i][j]$ 的值为 $True$，否则为 $False$。

动态规划的状态转移方程如下：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] \ or\ dp[i-1][j-S[i]] $$

其中 $dp[i-1][j]$ 表示不选第 $i$ 个元素，$dp[i-1][j-S[i]]$ 表示选第 $i$ 个元素。

最终，我们可以遍历 $dp[n][0:sum//2]$ 数组中所有的 $True$ 值，找到距离 $sum//2$ 最近的值，将 $S$ 划分为两个子集 $A$ 和 $B$，分别包含这些元素。

示例代码

以下是用 Python 实现上述动态规划算法的示例代码：

def divideSet(S):
    n = len(S)
    sumS = sum(S)
    dp = [[False] * (sumS // 2 + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = True
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(sumS // 2 + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] or (j >= S[i - 1] and dp[i - 1][j - S[i - 1]])
    diff = sumS
    for j in range(sumS // 2, -1, -1):
        if dp[n][j]:
            diff = sumS - 2 * j
            break
    A = []
    i, j = n, sumS // 2
    while i > 0 and j >= 0:
        if dp[i - 1][j]:
            i -= 1
        elif j >= S[i - 1] and dp[i - 1][j - S[i - 1]]:
            A.append(S[i - 1])
            j -= S[i - 1]
            i -= 1
    B = list(set(S) - set(A))
    return (A, B, diff)

其中，函数 divideSet 接受一个列表 S 作为输入，返回一个包含两个非空子集和它们的子集和的差的元组。元组中第一个元素是子集 $A$，第二个元素是子集 $B$，第三个元素是它们的子集和的差。