在给定范围内计算$x^2 = 1 \pmod{p}$的解数

本文将介绍如何使用编程语言计算给定范围内$x^2 = 1 \pmod{p}$的解数。其中，$p$为一个质数。

方法

根据数论知识，$x^2 \equiv 1 \pmod{p}$的解有两种情况：

1. $x \equiv 1 \pmod{p}$ 或 $x \equiv -1 \pmod{p}$；
2. $p$为偶数且$x \equiv \pm \sqrt{p} \pmod{p}$。

因此，我们可以对于每个给定范围内的$x$，分别求出$x \pmod{p}$和$x \pmod{2p}$的结果，判断是否满足上述两种情况。

具体过程如下：

1. 对于每个给定范围内的$x$，分别计算$x \pmod{p}$和$x \pmod{2p}$的结果；
2. 判断$x \pmod{p}$是否为1或$p-1$，并且$x \pmod{2p}$是否为$\pm p^{1/2}$；
3. 若满足上述条件，则计数器加1。

最终，计数器的值即为所求解数。

代码

以下是一个Python实现的示例代码：

def count_solutions(p: int, start: int, end: int) -> int:
    count = 0
    for x in range(start, end+1):
        x_mod_p = x % p
        x_mod_2p = x % (2*p)
        if x_mod_p in [1, p-1] and abs(x_mod_2p - p**0.5) < 1e-10:
            count += 1
        elif x_mod_p in [1, p-1] and abs(x_mod_2p + p**0.5) < 1e-10:
            count += 1
        elif p % 2 == 0 and abs(x_mod_2p - p**0.5) < 1e-10:
            count += 1
        elif p % 2 == 0 and abs(x_mod_2p + p**0.5) < 1e-10:
            count += 1
    return count

其中，函数count_solutions定义了三个参数：

• p：给定的质数；
• start：给定范围起始值；
• end：给定范围终止值。

函数返回的是给定范围内$x^2 = 1 \pmod{p}$的解数。