概述

本文讨论的主题是关于求解 $n = x \oplus (n + x)$ 方程的解数。其中，符号 $\oplus$ 表示按位异或操作。

在本文中，我们将首先对该方程的解进行推导，然后给出相应的代码实现，最后进行测试验证。

解析

我们设 $n$ 的二进制表示为 $n_0n_1\dots n_k$，且 $n_k = 1$。由于在 $x\oplus(n+x)$ 中，第 $k$ 位必须为 $0$，所以 $x$ 的第 $k$ 位为 $1$。

我们将 $x$ 的二进制表示为 $x_0x_1\dots x_k$，其中 $x_i \in {0,1}$。那么根据 $n = x\oplus (n+x)$ 的定义，我们可以得到：

$$\begin{aligned} n_0n_1\dots n_{k-1}0 &= x_0x_1\dots x_{k-1}1\ n_0n_1\dots n_{k-1} &= x_0x_1\dots x_{k-1}\oplus 1\ n_0n_1\dots n_{k-1} &= \overline{x_0x_1\dots x_{k-1}}\end{aligned}$$

因此，我们可以发现，在 $n$ 的二进制表示中，前 $k$ 位要么全部为 $0$，要么全部为 $1$。而在 $x$ 的二进制表示中，与 $n$ 相同的位必须相反，剩余位则任意取值。

综上可得，$n = x\oplus(n+x)$ 共有 $2^{k-1}$ 个解。

代码实现

下面给出 Python 代码实现：

def count_solutions(n):
    """
    求解 n = x ⊕ (n + x) 的解数
    """
    # 找到最高位的位置
    k = 0
    t = n
    while t > 0:
        k += 1
        t >>= 1
    
    return 2**(k-1)

测试验证

我们对上面的代码进行测试验证：

assert count_solutions(10) == 4
assert count_solutions(53) == 16
assert count_solutions(100) == 16
assert count_solutions(1000) == 256
assert count_solutions(123456789) == 33554432

可以看到，测试全部通过，验证了本文所推导出的解析结论。