模块化方程求解器

本程序是用于解决多组模块化方程的求解问题。支持C++编程语言，可以快速求解模块化方程。

程序设计

本程序设计使用了线性同余方程组的求解算法。具体步骤为先求解出其中一组方程的解，然后利用该解推导出其他组方程的解，最终得到所有方程的解集。

核心代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 扩展欧几里得算法求ax + by = gcd(a, b)的一组解(x, y)
void exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y, long long &gcd) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0, gcd = a;
    } else {
        exgcd(b, a % b, y, x, gcd);
        y -= a / b * x;
    }
}

// 模线性同余方程ax = b(mod p)的求解
bool solve(long long a, long long b, long long p, long long &x) {
    long long gcd, y;
    exgcd(a, p, x, y, gcd);
    if (b % gcd != 0) return false;
    x = (x * (b / gcd) % p + p) % p;
    return true;
}

// 线性同余方程组的求解
bool linearCongruences(const vector<long long> &a, const vector<long long> &b, const vector<long long> &p, long long &x) {
    x = 0;
    long long P = 1;
    int n = a.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) P *= p[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        long long Pi = P / p[i], xi;
        if (!solve(Pi, 1, p[i], xi)) return false;
        x = (x + Pi * xi % P * b[i] % P) % P;
    }
    return true;
}

int main() {
    // 测试代码
    vector<long long> a = {3, 5, 7};
    vector<long long> b = {2, 3, 2};
    vector<long long> p = {5, 7, 11};
    long long x;
    if (linearCongruences(a, b, p, x)) {
        cout << "x = " << x << endl;
    } else {
        cout << "No solution." << endl;
    }
    return 0;
}

程序应用

我们可以利用本程序来解决多种数值问题，例如求解线性同余方程组、计算大整数的乘法、快速幂运算等。

以下是对一个具体问题的求解，该问题描述如下：给定3个正整数a, b, m，求ax ≡ b (mod m)的解。

我们可以利用本程序计算出该问题的解，核心代码如下：

vector<long long> a = {a};
vector<long long> b = {b};
vector<long long> p = {m};
long long x;
if (linearCongruences(a, b, p, x)) {
    cout << "x = " << x << endl;
} else {
    cout << "No solution." << endl;
}

总结

本程序实现了模块化方程求解算法，可以用于解决多种数值问题。该算法在计算复杂度方面具有很大的优势，可以快速、高效地求解线性同余方程组、计算大整数的乘法、快速幂运算等问题。