找到一个使曼哈顿距离之和最小的点

问题描述

给定一个平面直角坐标系上的点集合P，找到一个点Q，使得Q到P中所有的点的曼哈顿距离之和最小。

解法

为了得到最优点Q，我们需要找到与P中的所有点距离和最小的点，因为曼哈顿距离可以看作是横坐标之差再加上纵坐标之差，所以这个问题就被转化为了两个一维问题：在X轴上找到一个点，使其与P中横坐标之差的绝对值之和最小，在Y轴上找到一个点，使其与P中纵坐标之差的绝对值之和最小。

代码实现

在X轴上求最优点

def find_best_point_on_x(points):
    n = len(points)
    points.sort()
    mid = n // 2
    x = points[mid][0]
    if n % 2 == 0:
        x = (points[mid - 1][0] + points[mid][0]) // 2
    return x

上述代码中，我们首先对点集P以横坐标为关键字进行排序，然后找到横坐标中位数对应的点，如果点集的大小为偶数，则找到中间两个点的横坐标的平均值作为最优点的横坐标，否则就直接取中位数点的横坐标作为最优点的横坐标。

在Y轴上求最优点

def find_best_point_on_y(points):
    n = len(points)
    points.sort(key=lambda point: point[1])
    mid = n // 2
    y = points[mid][1]
    if n % 2 == 0:
        y = (points[mid - 1][1] + points[mid][1]) // 2
    return y

上述代码中，我们首先对点集P以纵坐标为关键字进行排序，然后找到纵坐标中位数对应的点，如果点集的大小为偶数，则找到中间两个点的纵坐标的平均值作为最优点的纵坐标，否则就直接取中位数点的纵坐标作为最优点的纵坐标。

求解曼哈顿距离之和最小点

def find_best_point(points):
    best_x = find_best_point_on_x(points)
    best_y = find_best_point_on_y(points)
    return (best_x, best_y)

上述代码中，我们先求出最优点在X轴和Y轴上的坐标，然后将这两个坐标组成的点作为最优点返回。

总结

我们通过将问题转化为两个一维问题来解决了找到一个使曼哈顿距离之和最小的点问题。该问题在计算机视觉领域中有广泛应用，例如图像拼接、运动估计等。