使曼哈顿距离之和最小化的点数

介绍

在二维平面中，曼哈顿距离被定义为从一个点到另一个点的横向距离和纵向距离的和。例如，从点 $(x_1,y_1)$ 到点 $(x_2,y_2)$ 的曼哈顿距离为 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。

现在，假设有 $n$ 个离散的点，请问要选择其中的一些点，使得这些点的数量最少，同时这些点之间的曼哈顿距离之和最小。这个问题被称为使曼哈顿距离之和最小化的点数问题。

这个问题在实际生活中有很多应用，包括布局问题、运输问题、城市规划等。

解决方案

我们可以使用贪心算法来解决这个问题。具体地，我们按照以下两个步骤进行：

1. 将所有点按照横坐标排序，如果横坐标相同则按照纵坐标排序。

2. 对于排好序的点，依次考虑是否要选择它。具体地，对于第 $i$ 个点 $p_i$，如果它距离已经选中的点的曼哈顿距离之和不超过 $|x_i-x_1|+|y_i-y_1|+\dots+|x_i-x_k|+|y_i-y_k|$，那么就选择它，否则不选择它。

这个算法的正确性可以通过数学归纳法证明。

实现

下面给出一个例子的 Python 代码。

def min_points(points):
    points = sorted(points)
    n = len(points)
    selected = [points[0]]
    for i in range(1, n):
        x, y = points[i]
        dist = sum(abs(x-sx)+abs(y-sy) for sx, sy in selected)
        if dist <= abs(x-selected[0][0])+abs(y-selected[0][1])+sum(abs(x-sx)+abs(y-sy) for sx, sy in selected[1:]):
            selected.append(points[i])
    return len(selected)

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 是点的数量。实际上，我们可以使用线段树等数据结构来优化这个算法，使时间复杂度降为 $O(n\log n)$。

总结

使曼哈顿距离之和最小化的点数问题是一个有趣的问题，它可以通过贪心算法来解决。这个问题在实际生活中有很多应用，我们希望读者可以通过这个问题来了解贪心算法的思想。