具有最大成对绝对差和最小尺寸的子序列

在计算机科学中，序列是一个存储元素的数据结构。当对序列中的元素进行操作时，经常需要找到具有特定属性的子序列。其中一个常见的问题是，在一个序列中找到具有最大成对绝对差和最小尺寸的子序列。

问题描述

给定一个序列 $S = [s_1, s_2, \ldots, s_n]$，其中 $s_i$ 是一个整数。我们需要找到一个子序列 $T = [s_i, s_{i+1}, \ldots, s_j]$，其中 $1 \leq i \leq j \leq n$，满足以下条件：

1. $|s_i - s_j|$ 是 $T$ 中任意两个元素的绝对差的最大值；
2. $j - i + 1$ 是 $T$ 的长度，且是具有此属性的所有子序列中最小的长度。

解决方案

暴力算法

最直接的思路是对于所有的子序列进行枚举，找到具有条件 1 的子序列中长度最小的子序列。

时间复杂度：$O(n^3)$

def find_max_diff_min_length_subsequence(S):
    max_diff, min_length = 0, len(S)
    for i in range(len(S)):
        for j in range(i, len(S)):
            diff = abs(S[i] - S[j])
            if diff > max_diff:
                if any(abs(S[k] - S[l]) == diff for k in range(i, j+1) for l in range(k+1, j+1)):
                    continue
                max_diff, min_length = diff, j-i+1
            elif diff == max_diff and j-i+1 < min_length:
                if any(abs(S[k] - S[l]) == diff for k in range(i, j+1) for l in range(k+1, j+1)):
                    continue
                min_length = j-i+1
    return max_diff, min_length

优化算法

观察暴力算法中的代码，发现对于每个 $i$，都需要重复计算已经计算过的子序列。我们可以先对序列 $S$ 进行排序，然后从左到右扫描一次，将对于每个 $i$ 的值所对应的 $j$ 的最大值存储在数组 $A$ 中。这样，在枚举以 $i-1$ 结尾的子序列时，只需要枚举 $[i, A_{i-1}]$ 中的 $j$。

时间复杂度：$O(n^2)$

def find_max_diff_min_length_subsequence(S):
    S = sorted(S)
    A = [0] * len(S)
    j = 0
    for i in range(len(S)):
        while j < len(S) and S[j] - S[i] <= S[-1] - S[0]:
            j += 1
        A[i] = j - 1
    max_diff, min_length = 0, len(S)
    for i in range(len(S)):
        j_end = A[i] if i == 0 else A[i-1]
        for j in range(i, j_end+1):
            diff = S[j] - S[i]
            if diff > max_diff:
                max_diff = diff
                min_length = j-i+1
            elif diff == max_diff:
                min_length = min(min_length, j-i+1)
    return max_diff, min_length

总结

本文介绍了具有最大成对绝对差和最小尺寸的子序列问题，在暴力算法与优化算法两种解决方法中，优化算法在时间复杂度上更佳，为 $O(n^2)$。这个问题在实际应用中很少被提到，但它展示了一种较为常见的子序列问题研究思路。