求数组具有最小绝对差之和的元素

问题描述

给定一个由不同整数组成的数组，找出具有最小绝对差之和的元素对。换句话说，找出使得以下表达式的值最小的两个元素对：

$$ \sum_{i=1}^{n-1} |a_i - a_{i+1}| $$

例如，对于数组 [1,2,3]，有两个元素对：(1,2) 和 (2,3)，它们的绝对差之和都是 1。因此，函数应该返回任何一个元素对。

提示：

1. 2 <= A.length <= 10^4
2. -10^7 <= A[i] <= 10^7
3. A 是按非递减顺序排序的数组。

解决方案

解决这个问题的一个简单方法是暴力枚举所有可能的元素对，并选择具有最小绝对差之和的那个。但是，这个算法的复杂度是 $O(n^2)$，对于长数组来说非常慢。

一个更优的解决方案是使用指针，维护两个指向相邻元素的指针 $i$ 和 $j$。每次移动其中一个指针（例如，$i$），直到 $|a_i - a_j|$ 不再减小。然后，移动另一个指针，再重复这个过程，直到两个指针都到达数组的末尾。此时，最小绝对差之和就是所有交替的差值之和。

以数组 [1,2,3] 为例，这个算法的执行如下：

# 初始时，i 指向 1，j 指向 2，结果为 1
|1 - 2| = 1
|i=2, 2 - 1 < 3 - 2|
# 现在，i 指向 2，j 指向 3，结果为 1
|2 - 3| = 1
|i=3,  3 - 2 = 3 - 2|
# 完成，结果为 2

这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，因为每个指针移动最多只能遍历整个数组一次。以下是 Python 3 代码实现：

class Solution:
    def minAbsDifference(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        i, j, res = 0, 1, float('inf')
        while j < len(nums):
            res = min(res, abs(nums[i] - nums[j]))
            if res == 0:   # 最小绝对差之和已经为 0
                return [nums[i], nums[j]]
            if j - i == 1 or nums[j] - nums[i] <= nums[j-1] - nums[i]:
                j += 1   # 移动 j
            else:
                i += 1   # 移动 i
        return [nums[i], nums[j]]

这个代码实现使用了双指针，它们分别指向数组的第一个和第二个元素。变量 res 记录当前最小的绝对差。在移动指针时，如果两个指针之间的差值（即 |nums[i] - nums[j]|）比前面的差值小，则继续移动 j。否则，移动 i。

总结

本文介绍了一个简单的算法，用于找到具有最小绝对差之和的元素对。这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，并且可以处理长度为 $n$ 的长数组。