从数组中计数具有奇数按位XOR值的子序列

什么是按位XOR

按位XOR是指对两个数的每一位进行异或运算，得到的结果为1的位就是两个数在这一位上不相同的情况。

例如：5的二进制表示为101，3的二进制表示为011，则5和3的按位XOR运算结果为110，即6。

问题描述

给定一个整数数组，求其中具有奇数按位XOR值的子序列的数量。

解决方案

一个子序列可以是数组中的任意一些数按顺序排列而成的序列，其中具有奇数按位XOR值的子序列包括：

• 只有一个数的子序列，仅当这个数本身为奇数时。
• 连续子序列的按位XOR值为奇数。

对于第一种情况，可以遍历数组，统计其中奇数个数。

对于第二种情况，可以使用动态规划的思路。定义 f[i][j] 表示以 nums[i] 结尾、按位异或值为 j 的连续子序列的数量。

转移方程为：$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j \operatorname{xor} nums[i]]$。

最终答案为所有 f[i][j] 中按位为1的总和。

以下是Python代码实现：

class Solution:
    def countOddSubarrays(self, nums: List[int]) -> int:
        odd_count = sum(map(lambda x: x % 2 != 0, nums)) # 统计奇数个数
       
        dp = [[0] * 2 for _ in range(len(nums))] # 初始化dp数组
        dp[0][nums[0] % 2] = 1 # 特判第一个数
        res = dp[0][1] # 初始化
       
        for i in range(1, len(nums)):
            if nums[i] % 2 == 0:
                dp[i][0] = dp[i-1][0]
                dp[i][1] = dp[i-1][1]
            else:
                dp[i][0] = dp[i-1][1] + 1 # 注意要加上当前数单独作为子序列的情况
                dp[i][1] = dp[i-1][0] + 1
               
            res += dp[i][1] # 累加奇数按位异或的子序列数量
       
        return res + odd_count

以上代码的时间复杂度为O(n)，其中n是数组的长度。