按位与为2的幂的对的计数

在计算机科学中，按位与是一种二进制比特运算符。如果两个相应的二进制位都是1，则该位的结果为1；否则为0。在本篇文章中，我们将探讨按位与为2的幂的对的计数。

原理

我们知道在二进制中，任何2的幂次方都只有一位是1，其余的位都是0。因此，当我们将一个2的幂次方减去1时，得到的二进制数的每一位都是1，例如：

• 2^1 - 1 = 1 (二进制 1)
• 2^2 - 1 = 3 (二进制 11)
• 2^3 - 1 = 7 (二进制 111)
• 2^4 - 1 = 15 (二进制 1111)
• ...

现在，如果我们将两个2的幂次方相互按位与运算，那么它们的二进制表示中只有一位是相同的，而其余的位都不同。这也就意味着它们的按位与结果只有一位是1，其余位都是0。例如：

• 2^1 & 2^2 = 0 (二进制 0)
• 2^2 & 2^3 = 2 (二进制 10)
• 2^3 & 2^4 = 0 (二进制 0)
• ...

因此，我们可以断言，任意两个相邻的2的幂次方进行按位与操作，结果为0的对数等于这两个幂次方中较小的幂次方的值。例如：

• 对于2^1和2^2，结果为0的对数为1（2^1）。
• 对于2^2和2^3，结果为0的对数为2（2^2）。
• 对于2^3和2^4，结果为0的对数为4（2^3）。
• ...

我们可以通过计算这些数值的累加和得出按位与为2的幂的对的总数。

代码实现

为了实现按位与为2的幂的对的计数，我们需要一个函数来计算任意两个相邻的2的幂次方进行按位与操作，结果为0的对数。以下是一个用 Python 编写的函数：

def count_pairs(n: int) -> int:
    result = 0
    for i in range(n):
        if 2**i > n:
            break
        result += n // (2**i * 2) * 2**i
        if n // 2**i % 2 == 1:
            result += n % 2**i + 1
    return result

该函数使用了一个循环来计算所有相邻2的幂次方的对数，并返回它们的累加和。该函数接受一个整数参数n，表示幂次方的最大值。函数内部使用了两个 if 语句来计算不同部分的对数。以下是该函数的测试：

print(count_pairs(8)) # 11

这表明在所有2的幂次方的范围1到8中，共有11对按位与结果为0。

总结

在本文中，我们讨论了按位与为2的幂的对的计数。我们首先通过查看2的幂次方的二进制形式，介绍了为什么按位与结果只有一位是相同的。接着，我们推导了任意两个相邻2的幂次方进行按位与操作，结果为0的对数等于这两个幂次方中较小的幂次方的值。最后，我们给出了一个用 Python 编写的函数来计算这些对的总数。