计数具有相等的按位与和按位或值的对

在计算机科学和信息学中，按位运算是对二进制数进行操作的一种运算方式。其中，按位与（&）和按位或（|）是两种常见的按位运算。

现在，我们来考虑这样一个问题：给定一个整数数组 nums，其中 nums[i] 的二进制表示中有一个数量为 k 的 1。你需要计算 nums 中有多少对(i, j)，使得 (i < j) 且 ((nums[i] & nums[j]) == (nums[i] | nums[j]))。

解法

假设 nums[i] 和 nums[j] 的按位与运算结果为 res1，按位或运算结果为 res2。根据题意，我们需要求解的是有多少对(i, j)满足 res1 == res2。而这等价于 res1^res2 == 0，即求解有多少对(i, j)使得 nums[i]^nums[j] 的结果中包含了 k 个 1。

因此，我们可以遍历 nums 数组，对于每个 nums[i]，我们再次遍历 nums 数组，对于 nums[j]，我们检查 nums[i]^nums[j] 的二进制表示中是否有 k 个 1即可。

这个问题也可以使用哈希表来优化，具有更好的时间复杂度。

代码实现

def count_equal_bitwise_and_or_pairs(nums: List[int], k: int) -> int:
    """
    计算数组中按位与和按位或相等的数字对数目
    :param nums: 数组 nums
    :param k: 数字二进制表示中 1 的数量
    :return: 相等对数目
    """
    cnt = 0
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if bin(nums[i] ^ nums[j]).count('1') == k:
                cnt += 1
    return cnt

复杂度分析

时间复杂度

暴力方法中，我们对每个数字都需要遍历一遍数组来寻找与当前数字按位与或值相等的数字。因此，时间复杂度为 $O(n^2)$。

使用哈希表方法中，我们对每个数字都只需要寻找其二进制中 k 个 1 的数量。因此，时间复杂度为 $O(nk)$。

空间复杂度

哈希表方法中，我们需要使用哈希表来记录每个数字的 k 位二进制数，因此空间复杂度为 $O(n)$。