通过删除数字使两个字符串相同的最小成本

问题描述

给定两个由数字组成的字符串 str1 和 str2，其中 str1 是长度为 m 的字符串，str2 是长度为 n 的字符串。

现在需要通过删除这两个字符串中的数字，使得它们最终相同，求最小删除数字的成本值。

删除一个数字的成本为 cost，其中 cost 是一个正整数。

示例

Input: str1 = "123", str2 = "2345"
Output: 3
Explanation: 删除 "1" 和 "5"，成本为 1+2=3。

Input: str1 = "12", str2 = "235"
Output: -1
Explanation: 无法通过删除数字让两个字符串相同。

解法

这是一道动态规划问题。定义数组 dp[i][j] 代表 str1[0:i] 和 str2[0:j] 通过删除数字后得到的两个子串的最长公共子序列长度。

我们先考虑一个比较简单的问题，如何求出两个字符串的最长公共子序列（LCS）长度：

def longestCommonSubsequence(text1, text2):
    m, n = len(text1), len(text2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[m][n]

接下来考虑本题。我们仍然定义 dp[i][j] 代表 str1[0:i] 和 str2[0:j] 通过删除数字后得到的两个子串的最长公共子序列长度。但是我们需要考虑如何删除数字。

当 str1[i-1] 与 str2[j-1] 相同时，我们不需要删除任何数字，dp[i][j] 继承于 dp[i-1][j-1]。

当 str1[i-1] 与 str2[j-1] 不同时：

• 我们可以删除 str1[i-1]，得到 dp[i-1][j]。
• 我们可以删除 str2[j-1]，得到 dp[i][j-1]。
• 我们既可以删除 str1[i-1]，也可以删除 str2[j-1]，得到 dp[i-1][j-1]。

这三种情况的最大值即为 dp[i][j] 的值。

最后，由于题目要求的是最小删除数字的成本值，我们需要对删除数字进行计数。

def minimumDeletionCost(str1, str2, cost):
    m, n = len(str1), len(str2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1])
    res = 0
    i, j = m, n
    while i > 0 and j > 0:
        if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
            i -= 1
            j -= 1
        elif dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]:
            res += cost * int(str1[i - 1])
            i -= 1
        else:
            res += cost * int(str2[j - 1])
            j -= 1
    while i > 0:
        res += cost * int(str1[i - 1])
        i -= 1
    while j > 0:
        res += cost * int(str2[j - 1])
        j -= 1
    return res if dp[m][n] > 0 else -1

时间复杂度：$O(mn)$。

测试

为了让用户更好的体验该算法，建议添加一些测试案例。以下是该算法的相关测试：

assert minimumDeletionCost("123", "2345", 1) == 3
assert minimumDeletionCost("12", "235", 1) == -1
assert minimumDeletionCost("111", "444", 9) == 27
assert minimumDeletionCost("111", "444", 1) == 0
assert minimumDeletionCost("abccbda", "cbdaabc", 4) == 18