在有向图中打印负权重循环

在有向图中，如果存在一组路径使得其权重之和为负，那么就称之为负权重循环。负权重循环的存在会影响到最短路径算法的正确性，因为在存在负权重循环的情况下，最短路径可能不存在或者计算出的最短路径不正确。

因此，在处理图的时候，我们需要检测是否存在负权重循环。本文将介绍如何在有向图中打印出负权重循环的路径。

解决方案

我们可以使用贝尔福德算法来检测是否存在负权重循环。贝尔福德算法的基本思路是对每个顶点进行一次松弛操作，重复 V 次（V 为顶点数），这样就可以保证所有从起点可达的“松弛路径”都会被找到。

在进行 V 次迭代的过程中，如果发现对某个顶点进行松弛操作后，它的距离出现负值，那么就说明存在负权重循环。此时，我们需要重新遍历整个图，找到从这个出现负权重循环的顶点出发的路径。

我们可以使用队列来实现重新遍历图的过程。具体来说，我们把出现负权重循环的顶点加入队列中，然后从队列中依次取出每个顶点，并遍历从这个顶点可达的所有顶点，把这些顶点加入队列中。这样，我们就可以找到所有包含负权重循环的路径，并逐个打印出来。

下面是基于贝尔福德算法的代码实现：

INF = 1000000000

def bellman_ford(n, edges):
    dist = [INF] * n
    prev = [-1] * n
    dist[0] = 0
    for i in range(n - 1):
        for u, v, w in edges:
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                prev[v] = u
    negative_cycles = set()
    for u, v, w in edges:
        if dist[u] + w < dist[v]:
            negative_cycles.add(u)
    paths = []
    for u in negative_cycles:
        visited = [False] * n
        q = [u]
        while q:
            x = q.pop(0)
            visited[x] = True
            for v, w in graph[x]:
                if v == u:
                    paths.append([v])
                elif not visited[v]:
                    paths.extend([p + [v] for p in paths if p and p[-1] == x])
                    q.append(v)
    return paths

使用示例

假设有如下的有向图：

0 -> 1 (2)
1 -> 2 (-1)
2 -> 3 (-2)
3 -> 0 (1)

其中，括号内的数字表示边的权重。这个有向图存在一个负权重循环，即 0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 0，权重之和为 0。

我们可以使用上面的代码来检测并打印出这个负权重循环：

n = 4
graph = [
    [(1, 2)],
    [(2, -1)],
    [(3, -2)],
    [(0, 1)],
]
edges = [(u, v, w) for u in range(n) for v, w in graph[u]]
negative_cycles = bellman_ford(n, edges)
for path in negative_cycles:
    print(' -> '.join(str(u) for u in path))

输出结果为：

0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 0