有向图和无向图中的三角形数

什么是三角形数

在图论中，一个三角形指的是三个节点之间有连接边的一种情况，如下图所示：

     A
     |\
     | \
     |  \
     B---C

因此，一个三角形可以用三个顶点来表示。有向图和无向图中的三角形数就是指一个图中包含多少个这样的三角形。

无向图中的三角形数

对于无向图，我们可以采用暴力的方法来计算三角形数。具体来说，我们对于每个三元组 (i, j, k) 都判断它们是否形成一个三角形。如果是，那么就将三角形数加一。由于三角形的三个点是无序的，所以对于每个三角形，我们可以以任意一个顶点为起点来计算。

代码实现如下：

def count_triangles_undirected(edges):
    adj_list = [[] for _ in range(len(edges))]
    for u, v in edges:
        adj_list[u].append(v)
        adj_list[v].append(u)

    count = 0
    for u in range(len(adj_list)):
        for v in adj_list[u]:
            for w in adj_list[v]:
                if w != u and w in adj_list[u]:
                    count += 1

    return count // 6  # 由于每个三角形会被计算 6 次，所以要除以 6

有向图中的三角形数

对于有向图，暴力方法就不可行了。但是，我们可以采用一种基于路径计数的方法来计算有向图中的三角形数。

具体来说，对于三个点 u, v, w，我们可以分别计算从 u 到 v、从 v 到 w、从 w 到 u 的所有路径中的交集，即包含 u、v、w 三点的所有路径。由于是有向图，因此从 u 到 v 和从 v 到 u 是不同的路径。另外，因为涉及到路径计数，我们可以采用矩阵乘法来优化。

代码实现如下：

import numpy as np

def count_triangles_directed(edges):
    n = max(max(x, y) for x, y in edges) + 1
    adj_matrix = np.zeros((n, n), dtype=int)
    for u, v in edges:
        adj_matrix[u, v] = 1

    triangles = 0
    for i in range(n):
        v_path_counts = adj_matrix[i] @ adj_matrix
        for j in range(n):
            if adj_matrix[i, j]:
                triangles += v_path_counts[j] @ adj_matrix[:, i]

    return triangles

总结

本文介绍了如何计算有向图和无向图中的三角形数。对于无向图，我们可以采用暴力方法；对于有向图，我们可以采用基于路径计数的方法。对于大规模图，矩阵乘法可以大幅提升计算效率。